【中華百科全書●科學●變分學】

楊籍富

【中華百科全書●科學●變分學】

 

變分學（CalculusofVariation）是以某函數為變數之函數（實數值），也稱為實數泛函數，而求此泛函數的極值問題。

 

例如y為變數x的函數，而f為y及其導函數的函數f（x,y,y'），則積分（方程式1）是由函數y所對應的一數，此I就是一泛函數。

 

變分學就是求解這種泛函數取極值時，y是怎樣函數的問題，或y給定時，如何使Ⅰ〔y〕為極大或極小的問題。

 

我們幾個實例說明如下：一、最短曲線的問題：設固定二點P（a,a'），Q（b,b'）（a＜b）。

 

今欲求P、Q間的一曲線y＝y（x）使其曲線長：（方程式2）為最短。

 

二、最速下降的問題：鉛垂平面上的一曲線y=y（x）要如何決定，方可使質點沿著此曲線落下（如由下圖o到Q）所需的時間最少。

 

下降的時間T（Abel問題）可表成：（方程式3）則問題變成T取最小時，欲求曲線y=y(x)。

 

三、等周問題：在給定的定長，欲在平面上圍出的圖形之面積為最大。

 

這個問題用數式表出時應如下形：閉曲線方程式為x＝x（t）,y＝y（t）（0t1）且滿足x(0)=x(1),y(0)=y(1)，此時閉曲線長可表成：（方程式4）(一定)，而面積為（方程式5），此s的的變數為x與y，即欲使S為極大的x，y滿足周長一定的條件下，求x以及y兩個函數。

 

四、極小曲面的問題（Plate的問題）：給定閉空間曲線Γ，欲求以Γ為邊緣的曲面，使此曲面之面積為最小。

 

此情況用數式表出即如下之形式：設通過Γ的曲面方程式為z=z(x,y),(x,y)D，則曲面積表成：（方程式6）Ⅰ[z]極小時求曲面z＝z（x,y），這是二變數的極值問題之一例。

 

解變分問題的方法如下（歐依勒〔Euler〕方法）：如積分式（1）設Ⅰ[y]為最小（或最大），今設η(x)為滿足條件η(a)=η(b)=0之任意函數，給任意實數ε(≠0)時考慮函數族y=y0(x) εη(x)依此表出之函數都滿足邊界條件。

 

因此，I≡I[y]-I[yo]（方程式7）（方程式8）I之展開式的第一項稱為片Ⅰ[y]的第一變分，以δI表之。

 

上式對任何ε都能成立的必要條件為：（方程式9）ε為任意，故（方程式10），使Ⅰ[y]取極值的y＝y0(x)必須滿足上式。

 

歐依勒將上面所得之等式，用部分積分法求得（方程式11）第一項為0，而第二項導得（方程式12）稱為歐依勒方程式。

 

即求解二階常微分方程式：（方程式13）（賴漢卿）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10404