【中華百科全書●科學●序列】

楊籍富

【中華百科全書●科學●序列】

 

一、有限序列設n表一自然數，f為定義於集合{1，2，…，n}上之函數，若以ak代表f（k）則此函數{a1，a2，…，an}稱為一n項有限序列。

 

二、無限序列設函數f定義在自然數集合N上，此函數表為{an}，或(方程式1)或{a1,a2…}，稱為一無限序列，通常即簡稱為序列（Sequence）。

 

若存在一個a，使對任意＞0，皆對應有一自然數k，滿足：若n＞k，則︱an一a︱＜時，則a稱為序列{an}之極限。

 

二個有極限之序列是收斂序列，沒有極限之序列為發散序列，當序列收斂時，其極限必定是唯一存在的。

 

三、序列之眾點若存在一個p，在其任何一個鄰域（Neighborhood）中,皆含有無限多個序列中的項an時，p稱為此序列的{an}一個聚點（AccumulatingPoint）。

 

一個序列的聚點並不具其有唯一性的。

 

例如序列{1，？，l，？，1，？，1，？…}即有0與1，二個聚點。

 

由此例亦可看出聚點不一定屬於序列。

 

四、序列之界設{an}為一實數序列，若(方程式2)，則U稱為此序列之上界；

 

同理，若(方程式3)，則L稱為下界。

 

關於序列之上界或下界是不固定的，事實上，凡大於U之數，均為上界，凡小於L之數，均為下界。

 

一序列若有上界及下界時，則稱為有界序列。

 

由實數的完全性可知，此序列的最小上界與最大下界是存在的。

 

例如{1，？，l，？，1，？，…}中，最小上界為1，最大下界為0。

 

由此例亦可看出，一序列之最小上界或最大下界可在該序列中，亦可不在該序列中。

 

五、上極限、下極限設{an}為一有界序列，其子序列（an，an＋1，…）之最小上界及最大下界，分別表為Un，Ln。

 

此時，{Un}與{Ln}皆為收斂序列，令其極限分別為α、β，則α稱為有界序列{an}之上極限，β為{an之下極限，記作(方程式4)對任何接近α之地方，都有無限多個an，但取比α大之數時，則無此性質。

 

反之，在任何接近β之地方，亦有無限多個an，且對於小於β之數，均無此性質。

 

自然，當α＝β時，此序列{an}必然收斂，且(方程式5)。

 

例如(方程式6)，因二者並不相等，此序列必然發散。

 

六、柯西序列{an}若滿足下述之性質，對任意正數必對應存在一正數k，使對所有n＞k及任意自然數h而言，皆有(方程式7)時，此序列{an}稱為柯西序列（CauchySequence）。

 

若an為質數或複數，則柯西序列一定是收斂的，且每一收斂序列均為柯西序列。

 

（李沖）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10198