【中華百科全書●科學●初等函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●初等函數】

 

一個函數若其自變數為有限個且其本身為一代數函數，或指數函數，或對數函數，或三角函數，或反三角函數，或為上述諸函數之一有限線性組合，則稱為初等函數（ElementaryFunctions）。

 

令a＞0，a≠l，一個定義於實數的實函數f若滿足f（x＋y）=f（x）f（y）以及f（1）=a，也會滿足f（n）=an，n為正整數，及f（－n）=(方程式1)，且(方程式2)，m，n為正整數。

 

若再設f為一連續函數，則存在一惟一定義於全部實數上的絕對單調函數，具有上述f的一切性質，且其值域為（0，∞）。

 

此函數便稱為以a為底的對數函數，記作ax，其之反函數便稱為以a為底的對數函數，記作1ogax。

 

若g（x）=1ogax，則g（xy）＝g（x）＋g（y），g（a）＝1。

 

因此，xy=f（g（x） g（y））。

 

函數f（x）=ax為可微分的函數，且f，（x）=kaf（x），ka為一被a決定的數。

 

若(方程式3)，則ke＝l。

 

e可被證明為一超越數。

 

亦有將ex記作exp（x），而稱其為指數函數。

 

以e為底的對數函數稱為自然對數函數，記作logx（或1nx）。

 

logx的導數為(方程式4)。

 

ax的導數為（loga）ax。

 

ex與log（1 x）有下述的泰勒（Taylor）展開式：(方程式5)及(方程式6)三角函數有sinx，cosx，(方程式7)，(方程式8)，(方程式9)以及(方程式10)等六種。

 

(方程式11)，(方程式12)三角函數的反函數分別記作sin－1x（或arcsinx），cos－1x（或arccosx），tan－1x（或arctanx），cot－1x（或arccotx），sec－1x（或arcsecx）及csc－1x（或arccscx）。

 

其值域為(方程式13)≦arcsinx≦(方程式14)，0≦arccosx≦π以及(方程式15)≦arctanx＜(方程式16)，餘類推。

 

此外，尚有三角雙曲線，其定義為(方程式17)，(方程式18)，(方程式19)，(方程式20)，(方程式21)，以及(方程式22)，分別稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數、雙曲正切函數、雙曲餘切函數、雙曲正割函數，以及雙曲餘割函數。

 

（林正英）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10196