【中華百科全書●科學●曲面的曲率】

楊籍富

【中華百科全書●科學●曲面的曲率】

 

通常有兩種方法來討論曲面M在某點P的曲率。

 

第一、若n為法線向量，考慮包含n的所有平面與M之交線在P點之曲率k，在其中找出極小值與極大值k1與k2，皆叫做主曲率（PrincipalCurvature），則K=k1k2叫做高斯曲率，(方程式1)叫做平均曲率。

 

第二、若以X（u1,u2）表示曲面，而以(方程式2)表示經P點之坐標曲線之切向量，則可藉著把Xi映射到(方程式3)而定義出從P點的切空間到自己本身的Weingarten映射L。

 

能證明這映射所對應的矩陣（方程式4）可由第二基本型之係數（Lij）求得，而且能證明H=trace（L），K=det（L），因此K與H代表曲面上最重要的不變量。

 

特別當高斯在研究曲面性質的時候。

 

他最重視也最感得意的發現，就是儘管K的定義跟第二基本型有密切的關連，但是他卻能證明K其實可以完全由第一基本型來決定。

 

換言之，K是曲面本身內在的（Intrinsic）性質，而與這曲面如何安放在空間裏面無關。

 

一個曲面在P點附近的形狀常可藉K之值來判定。

 

如果K>0，則在P點附近曲面像個橢圓曲面；

 

如果K=k2=0，這時只能靠進一步劇變論中有關奇異性的理論才能探討。

 

由於K是內在性質而且藉著K能大體判斷曲面的形狀，所以如果一個曲面的K為固定的非零常數，則這種曲面在每處皆具類似形狀，而被稱為一個SpaceForm。

 

有關這方面的理論非常多，可以寫成整大本的書。

 

另外，如果在每一點都有H=0，則曲面叫做極小曲面（MinimalSurface），也是一種特別常被人研究的曲面。

 

其理論可以寫成專著，又跟物理及應用科學有關（蕭欣忠）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10173