【中華百科全書●科學●導數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●導數】

 

數學分析是現代數學中之一重要部門，微積分是數學分析中最基本的學科。

 

在概念方面，微積分有三個重要的起源：極限、微分(或導數[Derivatives])與積分之概念與理論。

 

為敘述方便，我們只引介單變數的實數值函數之導數(或導函數)之定義性質與重要結果。

 

一、導函數定義：給定實數值函數f：D→R,x0DR，令（見方程式1），稱此極限為「f在x0之導數」(或「導函數」)。

 

稱「f在x0可微」(fisdifferentiableatx0)，若f'(x0)存在，並取實數值，否則，稱「f在x0不可微」。

 

f在D可微，若f在D每一點可微。

 

若D為有限閉區間[a,b]可微，意謂兩個單向極限（見方程式2），均存在並取實數值。

 

不難證明：若f在x0可微，則f在x0連續。

 

導函數f'(x)在幾何及物理上均有直覺的意義。

 

若f：D→R為連續函數，而集合｛（x,f(x)）：xD｝之圖形可表示於一紙面上，則稱此集合為一平面曲線。

 

我們常以方程式y=f(x)指謂此曲線。

 

給定一曲線y＝f(x),xD若f在x0可微，則f'(x0)可定義為此曲線在點(x0,f(x0))之「切線之斜率」，或「函數f在點x0之(瞬間)變化率」([Instantaneous]Rateofchangeoffatx0)。

 

曲線之切線可有較嚴格之定義，而「變化率」可依f之物理意義而具不同之名稱，例如，若f(x)為某質點在時刻x之位移(由該質點在x=0時之位置開始)，則f'(x0)為此質點在時刻x0之瞬間速度。

 

有那些運算規則可提供我們以求得所給函數在點x0之導數?

 

我們有下列二個定理：定理(一)：若實數值函數f,g:D→R均在x0D可微，則1°f±g：x→f(x)±g(x)在x0可微，並且(f±g)'(x0)=f'(x0)±g'(x0)。

 

2°f．g：x→f(x)g(x)在x0可微，並且(f．g)'(x0)=f'(x0)g(x0) f(x0)g'(x0)。

 

3°若g(x0)≠0，則（見方程式3）在x0可微，並且見方程式4定理(二)：常微分之連鎖規則(ChainRule)。

 

若f：x→f(x)在x0Dom(f)可微，g：y→g(y)在f(x0)可微，Ran(f)Dom(g)，則複合函數g。

 

f：x→g（f(x)）在x0可微，並且(g。f)'(x0)=g'(f(x0))f'(x0)。

 

使用前面兩個定理，可導出這結果：:若r為任何有理數，則f(x)=xr，則f'(x0)=rx0r-1(但x0≠0使x0r-1有意義)。

 

利用各種函數之定義性質與上述規則(導函數之定義)，我們可求得函數之導函數。

 

定義：若f：x→f(x)在x可微，則f'：x→f'(x)，稱f'(x)為f在x之第一階導數，也記作df/dx；

 

若f'在x可微，f'之導數記作f"或d2f/dx2；

 

令f(0)=f，若f(k)已有定義，f(k)在x可微，則設f(k 1)(x)=(f(k))'(x)，記作dk 1f/dxk 1。

 

稱f(k 1)(x)為f在x之第k 1階導數。

 

f(k 1)(x0)為f(k 1)(x)在x0之值，記作（見方程式5）或（見方程式6）。

 

二、導數之重要性質與結果定義：給定實數值函數f：D→R(φ≠DR)。

 

1°f在D「單調增加」(MonotonicallyIncreasingonD)對所有x1，x2D，x1＜x2f(x1)f(x2)。

 

2°f在D「上升」(IncreasingonD)對所有x1,x2D，x1＜x2f(x1)＜f(x2)。

 

將1°之「增加」改為「減少」，＜、≦各改為＞、≧，得到「f在D單調減少」之定義；

 

將2°之「上升」改為「下降」，＜改為＞，得到「f在D下降」之定義。

 

定理(三)：給定f：[a,b]→R，設f在(a,b)可微，則1°f在[a,b]單調增加對所有x(a,b)(f'(x)0)。

 

2°f在[a,b]上升f在[a,b]單調增加，並且對任何α,β[a,b],f'在[α,β]不是0值常數。

 

3°對所有x(a,b)(f'(x)＞0)f在[a,b]上升。

 

上述結果，給予必要的修改，可得到「單調減少」、「下降」的類似結果。

 

定義：給定實數值函數f：D→R,x0DR。

 

1°f(x0)是f的(局部的)極大值(LocalMaximum)x0有一個去心鄰域N'δ(x0)，使得對所有xN'δ(x0)(即x0－δ＜x＜x0 δ)，f(x)＜f(x0)。

 

2°f(x0)是f的(絕對)最大值(AbsoulteMaximum)對所有xD,f(x)f(x0)。

 

將上述1°、2°之＜、各改為＞、，得到函數f之「極小值」、「最小值」之定義。

 

如何求得一個所給函數之(局部)極值?

 

我們有下列所謂「爬山定理」或FirstDerivativeTest。

 

定理(四)：給定實數值函數f：D→R，x0D。

 

設f在x0的一個去心鄰域N'δ(x0)內可微(f在x0可微與否均無關)，並且對所有xN'δ(x0)(即x0－δ＜x＜x0 δ)。

 

1°若(x＜x0f'(x)＞0)，且(x0＜xf'(x)＜0)，則f(x0)為f的一極大值。

 

2°若(x＜x0f'(x)＜0)，且(x0＜xf'(x)＞0)，則f(x0)為f的一極小值。

 

由定理(四)可得到所謂SecondDertivattiveTest。

 

定理(五)：給定f：x→f(x)R,x0Dom(f)，f'(x0)=0,f"(x0)存在並取實數值，則1°f"(x0)＜0f(x0)，是f的極大值。

 

2°f"(x0)＞0f(x0)，是f的極小值。

 

微分學(DifferentialCalculus)中之一重要定理是下列的泰勒定理。

 

定理(六)：泰勒定理(Taylor’sTheorem)或推廣的均值定理。

 

假設：函數f：[a,a h]→R滿足下列性質：f,f',f",f(K-1)均在[a,a h]連續，f(n-1)在(a,a h)可微(即f(n)在(a,a h)存在)，P為任何正整數。

 

結論，存在一正小數θ，0＜θ＜1，使得見方程式7在此，若取p=1，最後一項稱為Cauchy’sRemainder；

 

若取p=n，則最後一項稱為Lagrange’sRemainder。

 

當n=l時，定理(六)之特殊情形即所謂「均值定理」。

 

均值定理可應用來證明前面的定理(三)，並可用來證明下列結果：若函數f、g在其共同定義域D內可微，且對所有xD,f'(x)=g'(x)，則有常數C使得到對所有xD,f(x)=g(x) C。

 

定義：函數F：D→R是連續函數f：D→R在D的反導數(Anti-derivative)，當且只當：對所有xD,F'(x)=f(x)。

 

我們把此F記作F(x)＝∫f(x)dx＋C，C為任何常數，並稱∫f(x)dx為f在D之不定積分(IndefiniteIntegral)。

 

計算機之計算過程必須預先假定計算理論與逼近理論，而泰勒定理是後者之一基石。

 

當我們能證明：對所取的適當的p，（見方程式8），則f(a h)可用h之多項式（見方程式9）來逼近，即後者為前者之逼近值(近似值)。

 

泰勒定理在微分學中尚有其他理論上的應用。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9964