【中華百科全書●科學●環】

楊籍富

【中華百科全書●科學●環】

 

（Group）、體（Field）以及環（Ring），都是代數系統（或代數結構）中最常見的範例，並且是在（純粹和應用）數學中應用最廣泛的代數系統。

 

這些代數系統是由整數集Ｚ之加法（＋）與乘法（．）之運算抽離而得到的抽象結構。

 

定義：代數結構R＝（R，＋，．）是一個環，當且只當：集合R上的雙元運算＋、．，滿足下列公設R１～R６：對所有ｘ,ｙ,zR，下列Rｌ～R４恆成立：R１（x＋y）＋z＝x＋（y＋z）R２x＋y＝y＋xR３（x．y）．z＝x．（y．z）R４x．（y＋z）＝x．y＋x．z（y＋z）．x＝y．x＋z．xR５對R之任何元素x，R有一元素０，使得x＋０＝x（稱０為R之零元）。

 

R６對R之任何元素x，R有一元素y，使得x＋y＝０（稱y為x之加法逆元，並記作－x；

 

由此可設：對R之任何元素x、y，x－y＝x＋（－y），稱－為R之減法運算）。

 

例：所有整數、所有有理數、所有實數在習用之加法（＋）與乘法（．）之Ｆ，各形成一個環。

 

這些環稱為整數環、有理數環、實數環，並各記作Ｚ、Ｑ、R。

 

例：設n為一正整數，令Ｚn＝｛０,1,2,3,…,n－１｝＝｛rZ,０rn－１｝，若xＺ，rＺn，設x≡r（modn），當且只當x－r為n之倍數。

 

對Ｚ之任何元素x、y，設x＋y≡r（modn），x．y≡S（modn），並以r、s各為x＋y，x．y之值，則在加法（＋）、乘法（．）之下，Ｚn形成一個環。

 

把單位圓周（想像地）分成n個等分，等分點各記作０,１,２,…,n－ｌ。

 

將等分點i變為i＋ｌ，視n≡０，則相當於把圓周「轉一次」改變分點之位置。

 

這些分點之位置只是在圓周上做一次有序的排列而已。

 

這是最具體的「環」之圖象之來由。

 

定義：若一個環Ｒ滿足乘法之交換律R７，則稱R為一交換環（CommutativeRing）：R７對R之任何二個元素x、y，x．y＝y．x。

 

為方便起見，換之乘法運算x．y簡記作xy，又以R指稱環Ｒ＝（R,＋,．）。

 

定義：若一個環R具有兩個元素x、y，x≠０，y≠０，使xy＝０，則稱此環為一個「具有零約元的環」（RingwithZeroDivisors）；

 

否則，稱之為無零約元的環（RingWithoutZeroDivisors）。

 

例：Ｚ6為一個具有零約元的環（因2．3≡０）；

 

Ｚ5為一個無零約元的環。

 

定義：若一個環R有一個元素u，使得對R之所有元素的x，xu＝ux＝x，則稱此環為「具有么元的環」（RingWithIdentity），u記作1R或1，並稱之為R之么元。

 

例：Ｚ，Ｚ5，Ｚ6之么元均為正整數1。

 

定義：若R是一個具有么元的環，稱R有一有限特徵數m（或R之特徵數為m），當且只當m是合於條件m．１(＝１＋１＋１…＋１)＝０的最小（正）整數。

 

R之特徵數為０，若m．１＝０，則必m＝０。

 

例：Ｚ，Ｚn之特徵數各為０與n（n為任何正整數）。

 

代數結構（代數系統）之「同態」、「同構」概念可應用於環，而得到「環同態」（RingHomomorphism）與「環同構」（RingIsomorphism）這兩個概念。

 

即：定義：若Ｒ＝（R,＋,．,０,１），R'＝（R',＋',．',０',１'）均為環，０、１為R之零元與么元，０'，１'為R'之零元與么元。

 

稱映射ｆ：Ｒ→R'是一個環同態，當且只當，對R之所有元素x、y，f（x＋y）＝f（x）＋'f（y），f（x．y）＝f（x）．'f（y）。

 

若此同態為1－1，並且f把R映成R'（Ran（f）＝R），則稱ｆ為一環同構。

 

已知結果：若環R有一有限特徵數m，則R與Zm同態；

 

若R之特徵數為０，則R與Ｚ同態。

 

下面所引介的環均假定具有么元。

 

定義：若ｆ：Ｒ→R'為一環同態，令Ker（f）＝｛aR,f（a）＝０'｝（０'為R'之零元）。

 

稱Ker（f）為ｆ之核（Kernel）。

 

Ker（f）未必在環R之加法與乘法這兩個運算下閉合；

 

Ker（f）在環R之乘法與減法運算下閉合，但Ker（f）仍然不是一個環。

 

對任何aKer（f），對任何rR，ra,arKer（f）恆成立。

 

於是，得到下列「理想」或「瑄」概念。

 

定義：Ｉ為環Ｒ之一個?

 

（理想Ideal）），當且只當：ＩR，並且1°對任何a1，a2Ｉ，a1－a2Ｉ2°對任何aＩ，對任何rＲ，ra,arＩ定義：若Ｉ為環R之一?

 

，令R／Ｉ＝｛Ｉ＋r：rR｝，在此Ｉ＋r＝｛x＋r：xＩ｝。

 

環與其理想（?）

 

之間有下列初步的重要結果：定理（一）：對環R之每個瑄Ｉ，商集R／Ｉ有唯一的加法（＋）與乘法（．）運算，使得P：R→R／Ｉ在對應條件x→Ｉ＋x之下成為一個環同態，並且Ｒ／Ｉ是一個具有么元P（1）的環。

 

P將R映成R／Ｉ，P之核為Ｉ。

 

定理（二）：若Ｉ為環Ｒ之任何?

 

，並且對每一個環同態ｆ：R→S，ＩKer（f），則有唯一的同態g：R／I→S使得g。

 

p＝f，並且Im（g）＝Ran（g）＝Im（f）＝Ran（f）,Ker（g）＝Ker（f／I）。

 

環為現抽象代數學中頗受廣泛應用的結構，並且已有極深刻之巧妙的種種理論。

 

體（Field），為環之進一步延伸出來的概念。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9945