【中華百科全書●科學●積分】

楊籍富

【中華百科全書●科學●積分】

 

一、引論給予一個有界的實數值函數f：[a,b]→R，設f在[a,b]取非負值；

 

E(f)={(x,y)R2：axb,0yf(x)}，E(f)是由x軸，直線x=a,x=b與f之圖形所圍成的平面區域。

 

如何求得(或定義)此區域的「面積」？

 

就一般情形而言，如何定義平面上區城之面積是一個不易的問題。

 

在初等的平面幾何中，我們可定義一矩形之面積為相鄰兩邊之長度的乘積，而其面積之單位為「平方單位」；

 

由此可得到一三角形之面積為底邊及底邊上之高之乘積的一半。

 

由一個多邊形所圍成的區域可畫分為有限多個三角形，由這些三角形之面積來計算這區域之面積。

 

但這種「有限性的程序」不能應用於平面上較為複雜的區域而求得此區域之面積，我們有必要藉較簡單的區域之面積來逼近此較複雜的區城的面積。

 

由「求平面上區域之面積」問題發展出微積分中之積分理論(TheoryofIntegration)。

 

我們在此文中只引介積分學(IntegralCalculus)中最常習用的黎曼積分(RiemannIntegral)與瑕積分(ImproperIntegralorCauchy-RiemannIntegral)。

 

二、黎曼積分之一種定義法黎曼積分之形式定義，是由「求面積之逼近方法」衍生出來的，可說是由「看圖識字」翻譯而成的定義。

 

黎曼積分∫baf(x)dx在幾何上的直覺意義是：若f：[a,b]→R是有界的實數值函數，則此積分之值表示區域{(x,y)R2：axb,y＝f(x)}(即x軸，直線x＝a,x＝b與函數f之圖形所圍成的區域)之面積。

 

現在，我們依邏輯構造的順序敘述「黎曼積分」之定義：定義(一)：對任何有界閉區間[a,b]，稱集合P＝{x0,x1,x2,…xn}為[a,b]之一分割(Partition)，當且只當：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b(n為任何正整數)，點xi為此分割之第i分點。

 

對每個i(1in)，區間[xi-1,xi]為此分割之一個子區間，設Δxi＝xi－xi－1。

 

定義(二)：給定有界的實數值函數f：[a,b]→R，給定[a,b]的任何一個分割P={x0,x1,…xn}，對每個i(1in)。

 

令Mi(f)與mi(f)各為f在[xi－1,xi]的上限(最小的上界)與下限(最大的下界)，即Mi(f)＝sup{f(x)：x[xi－1,xi]},mi(f)＝inf{f(x)：x[xi－1,xi]}(有時這兩項各記作Mi=見方程式1)。

 

設f在[a,b]對P的上和(UpperSum)與下和(LowerSum)如下：U(f,P)＝見方程式2Mi(f)Δxi,L(f,P)＝見方程式3mi(f)Δxi。

 

注意：因f在[a,b]有界，故由R之完備性，可設M(f)與m(f)各為f在[a,b]之上限與下限(M＝見方程式4)，則m(f)mi(f)Mi(f)M(f)。

 

由此，對[a,b]之任何分割P，m．(b－a)L(f,P)U(f,P)M．(b－a)，由不等式m(b－a)U(f,P)，知道集合{U(f,P)：P為[a,b]之任何分割}有下界，由R之完備性，此集合有下限，記作Σ(f)；

 

同理，可設σ(f)為集合{L(f,P)：P為[a,b]之任何分割}之上限。

 

由前述定義(一)可得到下列兩個結果：預備定理：給定實數值的有界函數f：[a,b]→R，令P＝{x0,x1,…xn}為[a,b]的任何一個分割，若Q為[a,b]的(任何一個分割)，且PQ，則1°L(f,P)L(f,Q)U(f,Q)U(f,P)。

 

2°若Q比P多q個分點，∥P∥＝max{Δxi：1in},K＝見方程式5f，則L(f,Q)－L(f,P)2KqPU(f,P)－U(f,Q)2KqP。

 

預備定理：設f,Σ(f),σ(f)如前，則對[a,b]之任何分割P，L(f,P)σ(f)Σ(f)U(f,P)。

 

現在我們可以定義黎曼積分或定積分(DefiniteIntegral)。

 

定義(三)：給定實數值的有界函數f：[a,b]→R，設Σ(f),σ(f)如前。

 

f在[a,b]可行黎曼積分(簡稱為「可積分」)，σ(f)＝Σ(f)。

 

此時σ(f)與Σ(f)之共同值稱為「f在[a,b]之黎曼積分」或「f在[a,b]之定積分」，並記作∫baf(x)dx。

 

例：常數值函數f：x→α在[a,b]可積分；

 

若中f：[a,b]→R在開區間(a,b)之值為α，則f在[a,b]可積分。

 

一個函數之可積分之充分必要條件是什麼？

 

我們的答案是下列定理：定理(一)：給定實數值函數f：[a,b]→R，則下列兩個條件等價：1°f在[a,b]可積分。

 

2°f在[a,b]有界，並且對任何ε＞0，可找到[a,b]之一分割P，使得U(f,P)－L(f,P)＜ε。

 

那些函數可積分？

 

由定理(一)，我們可導出下列結果，若f：[a,b]→R是單調增加(或單調減少)的函數，則f在[a,b]可積分；

 

若f在[a,b]連續，則f在[a,b]的任何有界區間可積分，若f：[a,b]→R有界，[c,d](a,b)，f在[c,d]可積分，則f在[a,b]可積分。

 

把∫baf(x)dx視為平面區域{(x,y)R2：axb,y=f(x)}面積，則上述結果與黎曼積分之各種性質，均成為有關「面積」而直覺上為真之敘述。

 

三、黎曼積分之性質由定理(一)可導出下列結果：(一)若f、g在[a,b]可積分，則f g：x→f(x) g(x)在[a,b]可積分，並且∫ba(f g)＝∫baf＋∫bag。

 

若α為實數值常數，則αf：x→αf(x)在[a,b]可積分，並且∫baαf＝α∫baf(在此∫baf為∫baf(x)dx之縮寫，其它表式∫baf‧ψ類似)。

 

(二)若f與g在[a,b]可積分並對所有x[a,b],f(x)g(x)，則∫baf∫bag。

 

若f在[a,b]取非負值，則∫baf0。

 

(三)若f與φ為實數值函數，f．φ與φ在[a,b]可積分；

 

對所有x[a,b]，φ(x)0，且mf(x)M，則m∫baφ∫baf‧ψM∫baφ。

 

若對所有x[a,b],mf(x)M，則m‧(b-a)∫bafM‧(b-a)。

 

(四)若f在[a,b]可積分，則∣f∣：x→∣f(x)∣在[a,b]可積分，且∣∫baf(x)dx∣∫ba∣f(x)∣dx；

 

又若對所有的x[a,b](∣f(x)∣K)，則∣∫baf(x)dx∣K‧(b-a)。

 

(五)若f：[a,b]→R，若a＜c＜b，則：f在[a,b]可積分f在[a,c],[c,b]均可積分，並且∫baf＝∫caf＋∫bcf。

 

(六)若a＝c0＜c1＜c2＜…＜cp＝b,f：[a,b]→R，對每個i(lip)，對所有x(ci－1,ci),f(x)＝αi(一個常數)，則f在[a,b]可積分，並且∫baf＝見方程式6αi(ci-ci-1)。

 

(七)若f：[a,b]→R在[a,b]內只有有限多個不連續點，f在其他所有點連續，但f在[a,b]有界(即f在[a,b]片段連續)，則f在[a,b]可積分。

 

定義(四)：若f在[a,b]可積分，設∫abf(x)dx＝－∫baf(x)dx，對任何u[a,b]，令∫uuf(x)dx＝0。

 

由此可得到：若f在所給的閉區間可積分，則∫baf＋∫cbf＋∫acf＝0。

 

四、微分與積分之間有何關係初看之下，積分與微分似乎無關連。

 

但我們有下列基本定理，這是黎曼積分與導數之間的一道橋梁：定理(二)(黎曼積分之第一基本定理)：若f：[a,b]→R在[a,b]可積分，F為f在[a,b]之反導數，F在[a,b]連續，則∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)。

 

定理(二)告訴我們：如何由f在[a,b]之反導數(或不定積分)求出積分值∫baf(x)dx。

 

對任何函數φ：[a,b]→R，設〔φ(x)〕ba＝φ(b)－φ(a)，若F：[a,b]→R在[a,b]連續，並且為f：[a,b]→R在[a,b]之反導數(即在[a,b],F'(x)＝f(x))，則∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)＝〔∫f(x)dx＋C〕ba＝〔∫f(x)dx〕ba。

 

例如：若0?

 

[a,b]，則（見方程式7），注意：若x＜0,log｜x｜=log(－x)，並且（見方程式8）。

 

定義(五)：函數F：D→R(見方程式9)是函數f：D→R在D之母函數(原始函數[Primitive])，當且只當：F在D連續，並且F在D內之有限多個點外，在其D之其他所有點x,F'(x)＝f(x)。

 

前定理(二)可推廣為：定理(三)：若函數F：[a,b]→R是f：[a,b]→R在[a,b]之母函數，則∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)。

 

請讀者不要(由定理(二)、(三))誤解「積分與微分是互為還原的運算」，因為我們有下列第二基本定理：定理(四)(黎曼積分之第二基本定理)：設I為一區間(IR)，f：I→R在I之每一個有界閉子區間可積分，F：I→R，F(u)＝∫ucf(x)dx則1°F在I連續；

 

2°若f在uI連續，u不是I之端點，則F'(u)=f(u)；

 

3°若uI，（見方程式10）則（見方程式11）。

 

把u＋改為u－。

 

後，3°仍然成立。

 

由定理(四)可導出三個重要結果：推論1.：若I為一區間，f在I之每一個有界閉子區間可積分，φ,Ψ：T→I都是連續函數，H：T→R,H(t)＝∫φ(t)Ψ(t)f(x)dx，則H在T連續。

 

若tT，但非T的端點，φ'(t),Ψ'(t)均存在，並且f在φ(t),Ψ(t)連續，則H'(t)＝f(φ(t))φ'(t)－f(Ψ(t))Ψ'(t)。

 

推論2.：若I為一區間，f在I之每一個有界閉子區間有界，除I內的有限多個點外，f在I之其他所有點均連續，則f在I有一個母函數；

 

若cI，則F(u)＝∫ucf(x)dx,(uI)所定義的函數F是唯一滿足F(c)＝0的f的母函數。

 

定理(五)(代換定理)：若φ：[c,d]→R為可微函數，φ(c)＝a,φ(d)＝b,f：Ran(φ)→R也是連續函數，若∫dcf(φ(t)φ'(t)dt存在，則∫baf(x)dx＝∫dcf(φ(t)φ'(t)dt。

 

這一定理提供我們計算定積分之一方法。

 

由此定理與黎曼積分之定義性質，可衍生各種計算∫baf(x)dx之方法，茲不贅述。

 

若f：[a,b]→R在[a,b]可積分，∫baf(x)dx不易求得，或者我們不欲求此積分之「正確值」，如何求得此積分之逼近值(Approximate)？

 

我們有下列二個重要結果：定理(六)：若f：[a,b]→R在[a,b]可積分，則（見方程式12）故取充分大的正整數n，我們得到下列逼近式：（見方程式13）(α≒β表示β為α之逼近值)。

 

定理(七)(Simpson’sRule)：設f：[a,b]→R在[a,b]可積分，設{x0,x1,x2,x3,…x2n}為[a,b]之一分割(計有2n＋l個分點)，且對每個i(li2n),xi-xi-1＝（見方程式14），令yi＝f(xi)(0i2n)，則（見方程式15）｛y0 2(y2 y4 … y2n-2)＋4(y1 y3 … y2n-1) y2n｝。

 

例如，利用這個規則，可求得log2=（見方程式16）≒0.69314718，有效數字至小數第七位止。

 

四、瑕積分(ImproperIntegrals)與柯栖．黎曼積分(Cauchy-RiemannIntegrals)定義(六)：若f：(a,b)→R，並且f在(a,b)之每一個有界閉子區間可行黎曼積分，可找到c(a,b)，使得下列兩個黎曼積分之極限（見方程式17）與（見方程式18）存在並取實數值，則稱f在(a,b)可行柯栖．黎曼積分，或稱f在(a,b)之瑕積分收斂，並且∫baf(x)dx表示上述兩個極限之和。

 

在此∫baf(x)dx稱為一瑕積分。

 

注意：若a＝－∞，可把（見方程式19）改為（見方程式20）；

 

若b＝＋∞，可把（見方程式21）改為（見方程式22）我們所得到的仍然是「無限」的瑕積分，簡稱為「無限積分」。

 

黎曼積分與瑕積分有何關連？

 

由上述定義，可得下列結果：(一)若f在[a,b]可行黎曼積分，則瑕積分∫baf(x)dx收斂，其值為黎曼積分之值。

 

(二)若f：[a,b]→R，並且f在[a,b]之任何有界閉區間可行黎曼積分，則瑕積分∫baf(x)dx收斂（見方程式23）存在，並取實數值。

 

把[a,b)改為(a,b]，（見方程式24）改為（見方程式25）後，結果仍然成立。

 

注意：前後兩種情形可允許b＝＋∞，或a＝＋∞。

 

(三)若f：(a,b)→R在(a,b)之任何有界閉子區間可行黎曼積分，則瑕積分∫baf(x)dx收斂。

 

若?

 

：[a,b]→R限制於(a,b)即為函數f，則?

 

在[a,b]可行黎曼積分，並且（見方程式26）(x)dx＝瑕積分∫baf(x)dx。

 

如何判定瑕積分之收斂？

 

我們有下列結果：定理(八)：給定f,g：[a,b]→R(b可以是＋∞)，對所有u(c,b)，f與g在[c,u]可行黎曼積分，又對所有x[c,b]。

 

f(x)0,g(x)0,若瑕積分∫bcg(x)dx收斂，並有k0,λ[c,b]，使得對所有x[λ,b],f(x)g(x)，則∫bcf(x)dx收斂。

 

由定理(八)，可導出非常有用的下列定理(九)：定理(九)：f,g：[a,b]→R(b可以是＋∞)，對所有u(c,b)，f與g在[c,u]可積分；

 

對所有x[c,b],f(x)0,g(x)0,若瑕積分∫bcg(x)dx收斂，（見方程式27）R，則∫bcf(x)dx收斂。

 

上述兩個定理((八)、(九))經過必要的修改後；

 

可得到類似的定理。

 

使用定理(九)可證得：瑕積分∫10xm-1(1-x)n-1dx收斂m＞0,n＞0。

 

瑕積分∫＋∞0e-xxy-1dx收斂y＞0。

 

定理(十)：若f：[c,b]→R(b可以是＋∞)，對所有u(c,b)，若瑕積分∫bc∣f(x)∣dx收斂，則瑕積分∫bcf(x)dx收斂。

 

例如：（見方程式28）收斂（見方程式29），因（見方程式30）向（見方程式31）收斂。

 

定義：設a1,a2,…,ap(a,b),a1＜a2＜…＜ap,a0＝a,ap＋1＝b,f：(a，b)/{a1,a2,…,ap}→R，若f在每一個子區間(ai－1,ai)(lip＋1)之暇積分（見方程式32）收斂，則設瑕積分（見方程式33）。

 

由這定義與前述定義、定理，我們可導出類似黎曼積分之重要定理。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9937