【中華百科全書●科學●密度函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●密度函數】

 

如果μ和ν是兩個σ有窮的非負測度，定義在集合Ω的某個σ（集合）？

 

，即Borel體B之上，f是個函數，而且對AB，恆有ν(A)=∫Af(ω)μ(dω)，我們就該說f是ν對於μ的密度函數（DensityFunction）。

 

一般地說，密度函數f只能確定到「對μ而言，幾幾乎到處唯一」的程度。

 

記成f=dν/dμ。

 

ν對於μ有絕對連續性，這就是說：μ（A）夠小，就保證了ν（A）必小。

 

另一種說法是：μ（A）=0，就保證了ν（A）=0。

 

一般地說測度ν對於μ的絕對連續性恰恰就是ν對於μ具有密度函數的充分必要條件。

 

物理學上，μ代表容積（體積），ν代表質量，那麼dν/dμ就是質量密度函數，這就是密度函數的本義。

 

這個概念的推廣已如上所述，不過最常見的情形總是：W是歐氏空間的一個閉域或開域，μ是勒貝格氏（Lebesgue）測度的情形。

 

在機率論中，一個隨機變數X之分布μx乃是實數系R上的機率測度，μx（R）=1。

 

μx具有對勒貝格氏測度的密度p時，p就是機率密度函數：p0，∫p(x)dx=1。

 

把維數推廣為n1，那麼也可以得到隨機向量X的機率密度函數。

 

此時，∫xp(x)dx就是X之期望值。

 

（楊維哲）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9830