【模態重疊法】

豐碩

【模態重疊法】

 

modesuperpositionmethod

 

【辭書名稱】力學名詞辭典

 

模態重疊法又稱為振態疊合法，為結構線性動態分析時常用的一種方法。

 

此法是藉結構系統自身之自然振態(naturalvibrationmode)選定振態座標(modalcoordinate)，來描述各振態單獨的動態反應(modalresponse)，再利用線性問題適用疊合原理（參見principleofsuperposition）的觀念，將各振態解（反應）疊加，求得結構之動態反應(dynamicresponse或timehistory)。

 

由於分析時須用到結構自身之自然頻率(naturalfreguency)和振態，因此應用此法分析時，須先解結構自然振動方程式。

 

所謂自然振動(naturalvibration)就是在無外力作用下，結構自身之自由振動(freevibration)，其振動一般肇因於初位移(initialdisplacement)或初速度(initialvelocity)。

 

有限元素法中，結構之線性自然振動方程式可寫為上式中，Mαβ、Dαβ及Kαβ分別為系統質量、阻尼及勁度矩陣，qβ(t)為系統座標（位移），其上之點號"‧"表對時間之微分項。

 

由於無外力作用，因此上式等號右邊為零。

 

由於阻尼項的存在，求解上式之頻率與振態時，須以複變數(complexvanables)型式運算，分析異常繁難。

 

再者，一般結構之阻尼係數均甚小，考慮阻尼效應所求得之含阻尼自然頻率與振態(dampedfrequencyandmode)與無阻尼之自然頻率與振態相差不多。

 

因此常以下式略去阻尼效應之自然振動方程式所求得之解作為原結構之自然頻率與振態：由上式可知，無外力作用下之振動為一簡諧運動(simpleharmonicmotion)。

 

因此其解可以自然對數e之時間函數表示如下：上式中，為一待定的常數行矩陣；

 

λ為一待定之參數；

 

i＝√－1將上式代入結構系統之自然振動方程式，可得：因eiλt不為零，故：此式為一特徵值方程式(eigenvalueequation)，在振動學中又稱為頻率方程式(frequencyequation)。

 

若欲出現不為零之位移解，，則唯有：此處det表矩陣行列式值。

 

因系統有N個自由度，Mαβ及Kαβ為N×N階矩陣，故由上式可定出N個特徵值λ2j，j＝1,2,…N。

 

上述特徵值方程式一般常用數值方法求解，例如賈可比法(Jocobimethod)，次空間迭代法(subspaceiterationmethod)等。

 

透過迭代運算可同時求得前m個特徵值λ及其對應之特徵向量。

 

自由振動分析中，自然頻率ωj＝λj，其對應之振態，j＝1,2,…m≦N。

 

一般習將頻率值ωj由小排到大，ω1＜ω2＜…＜ωj＜ωj+1…＜ωm。

 

最小之自然頻率值ω1稱為結構之基本頻率(fundamentalfrequency)。

 

求得自然頻率ωj及振態фjβ後，結構系統之動態位移反應qβ(t)可藉前m個振態座標ηj(t)及振態фjβ近似表示如下：將上式代入結構系統在外力作用下之強迫振動(foreedvibration)方程式經振態轉換運算，則可將上式原本篇偶合(coupled)之N元聯立常微分方程式，轉換成m個聯立但各自獨立非偶合(unconpled)振態方程式：此處，為對應第j個振態之振態質量(modalmass)；

 

為對應第j個振態之振態阻尼(modaldamping)；

 

為對應第j個振態之振態勁度(modalstiffness)；

 

為對應第j個振態之振態荷重(modalload)；

 

ξj＝Dj/2ωjMj為第j個振態之振態阻尼比(modaldampingratio)；

 

Qα(t)為廣義系統荷重(systemload)。

 

上式中下註標α、β在一項中重複出現時，須就該註標取和。

 

由於振態方程式非偶合，因此可將各振態方程式視為獨立的單自由度方程式，利用杜漢摩積分式(Dunamelintegral)、快速傅立葉轉換法(fastFouriesrtransformmethod)或直接積分法(directintegrationmethod)，求得各振態反應解ηj(t)。

 

再將其疊加而得結構系統之動態反應解：倘若系統阻尼矩陣Dαβ不具正交性(nonorthogonaldampingmatrix)，則振態方程式將出現偶合型式，此時只能利用直接積分法同步求得各振態解反應解ηj(t)後，再疊加而得系統動態反應解。

 

 

轉自:http://edic.nict.gov.tw/cgi-bin/tudic/gsweb.cgi?o=ddictionary