【數理邏輯】

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【數理邏輯】

 

MathematicalLogic

 

【辭書名稱】教育大辭書

 

數理邏輯可視為數學的邏輯分析，但通常與符號邏輯(SymbolicLogic)之涵義相同，所以數理邏輯指的是人用符號來進行邏輯演算和分析。

 

目前數理邏輯分為廣義及狹義兩種：狹義的數理邏輯專指邏輯的演算，包含命題演算及述詞演算(PropositionalandPredicateCalculi)；

 

廣義的則包含數學的集合論、證明論及其他相關的系統。

 

由於數理邏輯比照代數般運用符號，因此相當形式化，其有效性往往與應用的內容無關。

 

亞里斯多德(Aristotle,384～322B.C.)在〔工具論〕(Organon)一書中曾提及邏輯演繹推理，十七世紀萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz,1646～1716)亦曾處理了一些邏輯方面的問題，但數理邏輯之發展到十九世紀才有重大的突破。

 

摩根(A.deMorgan,1806～1871)提出「關係邏輯」觀念，提供了人們一種新的思考方向，布爾(GeorgeBoole,1815～1864)為代數家，將邏輯置於數學系統內，並建立了邏輯演算的雛型。

 

弗列格(G.Frege,1848～1925)在前兩人的基礎上繼續努力，並建立了一個邏輯演算體系，使邏輯的形式化有了進一步的發展。

 

集合論方面，坎托(GeorgCantor,1845～1918)反對亞里斯多德對「無限」與「連續」的看法，並提出了新的集合論觀點。

 

然而在十九世紀末，人們已發現了弔詭論(Paradox)的存在，加以坎托的集合論受到布勞威(L.E.J.Brouwer,1881～1966)的批評，由此導出二十世紀初期數學的危機，人們反省數學的基礎為何，並發展出三種解決的思想：直覺主義、形式主義及邏輯主義。

 

皮亞諾(GiuseppePeano,1858～1932)繼弗列格之後，在數學演繹上努力於數學語言之精確，並列出一些定理、公理。

 

一九一○至一九一三年間懷德海(AlfredNorthWhitehead,1861～1947)與羅素(BertrandRussell,1872～1970)出版了〔數學原理〕(PrincipiaMathematica)，於書中二人從邏輯的演算中導出數學並以符號來表示推理過程，此種見解反映了邏輯主義觀點。

 

布勞威爾及其後續者持直覺主義，強調數學歸納法及直覺的建構。

 

希爾伯(D.Hilbert,1862～1943)，為防止弔詭論及邏輯矛盾的出現，提出證明一致性的「希爾伯方案」(Hilbertprogram)或證明論，主張完全形式化公理系統之一致性可加以證明。

 

然而哥德爾(KurtGödel,1906～1978)於一九三○年提出了「不完全性理論」(IncompletenessTheorems)，認為希爾伯追求的系統是一致時，該系統即為不完全之系統，並且含有古典數論之系統的一致性無法於系統中加以證明。

 

今日數理邏輯也與語言學、資訊科學密切聯繫，並不侷限於數學與邏輯領域。

 

 

轉自:http://edic.nict.gov.tw/cgi-bin/tudic/gsweb.cgi?o=ddictionary