楊籍富 發表於 2012-12-27 17:39:21

【中華百科全書●科學●序列】

本帖最後由 楊籍富 於 2012-12-27 18:47 編輯 <br /><br /><P align=center><STRONG><FONT size=5>【<FONT color=red>中華百科全書●科學●序列</FONT>】</FONT></STRONG></P>&nbsp;
<P><STRONG>一、有限序列設n表一自然數,f為定義於集合{1,2,…,n}上之函數,若以ak代表f(k)則此函數{a1,a2,…,an}稱為一n項有限序列。</STRONG></P>
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<P><STRONG>二、無限序列設函數f定義在自然數集合N上,此函數表為{an},或(方程式1)或{a1,a2…},稱為一無限序列,通常即簡稱為序列(Sequence)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若存在一個a,使對任意>0,皆對應有一自然數k,滿足:若n>k,則︱an一a︱<時,則a稱為序列{an}之極限。</STRONG></P>
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<P><STRONG>二個有極限之序列是收斂序列,沒有極限之序列為發散序列,當序列收斂時,其極限必定是唯一存在的。</STRONG></P>
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<P><STRONG>三、序列之眾點若存在一個p,在其任何一個鄰域(Neighborhood)中,皆含有無限多個序列中的項an時,p稱為此序列的{an}一個聚點(AccumulatingPoint)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>一個序列的聚點並不具其有唯一性的。</STRONG></P>
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<P><STRONG>例如序列{1,?</STRONG><STRONG>,l,?</STRONG><STRONG>,1,?</STRONG><STRONG>,1,?</STRONG><STRONG>…}即有0與1,二個聚點。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由此例亦可看出聚點不一定屬於序列。</STRONG></P>
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<P><STRONG>四、序列之界設{an}為一實數序列,若(方程式2),則U稱為此序列之上界;</STRONG></P>
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<P><STRONG>同理,若(方程式3),則L稱為下界。</STRONG></P>
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<P><STRONG>關於序列之上界或下界是不固定的,事實上,凡大於U之數,均為上界,凡小於L之數,均為下界。</STRONG></P>
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<P><STRONG>一序列若有上界及下界時,則稱為有界序列。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由實數的完全性可知,此序列的最小上界與最大下界是存在的。</STRONG></P>
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<P><STRONG>例如{1,?</STRONG><STRONG>,l,?</STRONG><STRONG>,1,?</STRONG><STRONG>,…}中,最小上界為1,最大下界為0。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由此例亦可看出,一序列之最小上界或最大下界可在該序列中,亦可不在該序列中。</STRONG></P>
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<P><STRONG>五、上極限、下極限設{an}為一有界序列,其子序列(an,an+1,…)之最小上界及最大下界,分別表為Un,Ln。</STRONG></P>
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<P><STRONG>此時,{Un}與{Ln}皆為收斂序列,令其極限分別為α、β,則α稱為有界序列{an}之上極限,β為{an之下極限,記作(方程式4)對任何接近α之地方,都有無限多個an,但取比α大之數時,則無此性質。</STRONG></P>
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<P><STRONG>反之,在任何接近β之地方,亦有無限多個an,且對於小於β之數,均無此性質。</STRONG></P>
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<P><STRONG>自然,當α=β時,此序列{an}必然收斂,且(方程式5)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>例如(方程式6),因二者並不相等,此序列必然發散。</STRONG></P>
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<P><STRONG>六、柯西序列{an}若滿足下述之性質,對任意正數必對應存在一正數k,使對所有n>k及任意自然數h而言,皆有(方程式7)時,此序列{an}稱為柯西序列(CauchySequence)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若an為質數或複數,則柯西序列一定是收斂的,且每一收斂序列均為柯西序列。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(李沖)</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG>&nbsp;</P>引用:<A href="http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10198" target=_blank>http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10198</A>
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