【什麽是拓樸學啊?】

紫羅蘭

【什麽是拓樸學啊?】

 

拓撲學是數學中一個重要的、基礎性的分支。它最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質，現在已成爲研究連續性現象的重要的數學分支。
　　

拓撲學起初叫形勢分析學，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在複函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現代拓撲學的系統研究。
　　

連續性和離散性是自然界與社會現象中普遍存在的。

拓撲學對連續性數學是帶有根本意義的，對于離散性數學也起著巨大的推動作用。

拓撲學的基本內容已經成爲現代數學的常識。拓撲學的概念和方法在物理學、生物學、化學等學科中都有直接、廣泛的應用。
　　

什麽是拓撲學？
　　

拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定爲拓撲學，這是按音譯過來的。拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。

拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。
　　

舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等形。

但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。

在拓撲學裏沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。

例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
　　

拓撲性質有那些呢？

首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
　　

在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。

比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。

右圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的.
　　

在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。

在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。

一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
　　

應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不 能拓撲的變成環面。

所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。

在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
　　

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。

但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏 斯曲面。

這種曲面就不能用不同的顔色來塗滿兩個側面。

拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不再介紹。
　　

拓撲學建立後，由于其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。

特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作爲分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
　　

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，爲拓撲學開拓了新的面貌。

拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。

拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
　　

因爲大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。

本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。

有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。

1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，並推進了整體幾何學的發展。
　　

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。

一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。

另一個分支是偏重于用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
　　

拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用.
　　

我們知道，幾何學是研究圖形的形狀，位置和大小的一門學科。

但是，幾何學中有一類問題，圖形的形狀是無關緊要的，也不考慮大小問題，重要的是只研究圖形各部分位置的相對次序。

歷史上在這方面最著名的問題是所謂“七座橋問題”。
　　

德國數學家萊布尼茨首先這個領域的幾何學，並把它稱爲“位置幾何學”，關于這一點，有這樣一段曆史資料，瑞士數學家歐拉（1707-1783年）在解決“七座橋問題後，對這種幾何學作了一次比較完善的研究，並于一七三六年把研究的結果寫成論文提交彼得堡科學院，在這篇論文的開頭，他道德闡明這類問題應該屬于數學的哪個領域，他說：“幾何學中除了研究尺寸大小和測量的那部分以外，萊布尼茨第一次提到了幾何學的另一個領域，他稱之爲‘位置幾何學’。幾何學的這一領域只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮尺寸的大小。”萊布尼茨、歐拉爲這種“位置幾何學”的發展奠定了基礎，發展到今天，就是幾何學的一個重要分支——“拓樸學”。
　　

“拓樸學”是一個譯名，它的原文是“topology”，是取它的間來翻譯的。

 

 

引用：http://tc.wangchao.net.cn/xinxi/detail_1877807.html