【中華百科全書●科學●機率論】

楊籍富

【中華百科全書●科學●機率論】

 

機率論（TheoryofProbability）的任務是解答：如此這般的一個事件（Event）發生之機率為何？

 

這種理論之公理化乃是柯爾摩哥洛夫（Kolmogorov）氏在西元一九三一年發表完成的。

 

事件均可表達成某個不空集Ω之子集合，而事件之全體成為一個σ矰，或即可測構造σ，而在σ上定義了機率函數P，使得P是(Ω,σ)上之測度，且P(Ω)=l。

 

古典理論由巴斯卡（Pascal）、費馬（Fermat）之討論開始，此乃十七世紀中葉的事，古典機率空間則由拉普拉斯（Laplace）氏引進：Ω是N個點之集合，σ=expΩ是Ω的一切子集之集合，而P(A)=「A之元素個數除以N」。

 

這是一個很好的模型，而把古典機率論變成主要是組合論的計算。

 

例如擲骰子一個，則Ω為｛1,2,3,4,5,6｝，又如祭禮「卜杯」，令Ω1=｛正，反｝，Ω≡Ω12≡｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，則「神杯」就是｛（正，反），（反，正）｝，因而其機率為二分之一。

 

在古典理論中，計算的要領一是加法原理或叫疊合原理（SuperpositionPrinciple），此即：若事件A與事件B互斥，則P（“A或B”）=P(A)＋P(B)；

 

推而廣之，則有「共容互斥原則」：對於任意幾個事件A1,A2…An，有P(A1∪A2∪…∪An)＝（見方程式1）另外一個原則是乘法原理：如果我們用一個機率空間（Ω1,σ1,P1）表描述某個機率現象，用（Ω2,σ1,P1）來描述另一個現象，而且這兩個現象是「獨立的」（Independent）那麼，當我們要研究這兩個現象的結合現象時，最適當的模型就是採用兩個空間之直積，也就是令Ω≡Ω1×Ω2,σ由｛A1×A2：A1σ1,A2σ2｝生成，而且P=P1?P2，即P(A1×A2)=P1(A1)P2(A2)。

 

對於機率論，一個根本概念是隨機變數，以及它的分布。

 

隨機變數實際上可以比擬為虛構的（記述）統計數據，相當於「算術平均」的就是隨機變數之期望值（MathematicalExpectation）ExpcΦ=∫xμΦ(dx)，其中μΦ乃是Φ：Ω→R之分布，Expc對於Φ有線性：Expc(αΦ＋Ψ)=αExpcΦ＋ExpcΨ，至於乘性一般地不成立，如果成立，就說Φ與Ψ是「零相關的」（Uncorrelated），這一點，有個充分（而非必要）的條件是Φ與Ψ相獨立，這就是說：Φ-1(A)與Ψ-1(B)總是獨立。

 

通常說事件C與D相獨立乃是指P(C∩D)=P(C)．P(D)。

 

一般地說，若P(C)≠0，則D對C之條件機率是：P(D∩C)/P(C)，若其值=P(D)則D與C獨立。

 

隨機變數Φ與Ψ之獨立性，其實等於Ω把寫成直積：Ω=Ω1×Ω2,P=P1?

 

P2，而Φ、Ψ分別是Ω1與Ω2上的隨機變數。

 

若Φ是「非負值的」隨機變數，而且ExpcΦ=μ＞0，那麼對於α＞1,P{Φ＞αμ}＜α-1,而且P{Φ≧αμ}≦α-1，這兩個式子叫做馬爾可夫（Markov）不等式。

 

同樣地引入方差（或叫變異數〔Variance〕）VarΦ及標準差SdΦ（StandardDeviation）之定義：VarΦ≡Expc(Φ2)－(ExpcΦ)2,（見方程式2），這是由記述統計得來的概念；

 

而有切比雪夫（Chebyshev）不等式：若Φ是個隨機變數，ExpcΦ=μ,SdΦ=σ,α＞1,則P｛｜Φ－μ∣＞ασ｝＜α-2。

 

通常，期望值μ與標準差σ是這個隨機變數的「代表性的值」與「參差性的量度」。

 

如果Φ與Ψ零相關（例如說二者互相獨立），那麼Expc(ΦΨ)=(ExpcΦ)(ExpcΨ)，而且Var(Φ＋Ψ)=VarΦ＋VarΨ峙。

 

事實上，Cov(Φ,Ψ)=Expc(ΦΨ)－(ExpcΦ)(ExpcΨ)，叫做Φ與Ψ之協變異數（Covariance），Cov(Φ,Ψ)/(SdΦSdΨ)叫做Φ與Ψ之相關係數（CorrelationCoefficients），零相關表示此二者均為0。

 

古典機率理論中，經常討論獨立而且同分布的一列隨機變數(Xn:nN)，令Sn=X1＋X2＋…Xn。

 

一個例子是X1=1或0，機會各為p及q（而且p＋q=l,pq＞0），這時Sn之分布為二項分布，或叫柏努意（Bernoulli）分布，此為柏努意（名為Jacob）所研究者。

 

關於此，有所謂帕松（Poisson）氏極限定律：在「p→0,n→∞且np→λ」之條件下，Sn之分布弱收斂於所謂帕松氏分布μ:μ{k}=e－λλk/k！

 

柏努意本人則最先提出大數法則（LawofLargeNumbers）：在n→∞時（若p,q固定），則Sn/n→μ≡ExpcX1。

 

（此係就二項分布言，但一般之定理則為波瑞爾（Borel）證明，且加以強化。

 

此法則乃賦與機率概念以運作之意義（OperationalMeaning）者。

 

就二項分布之情形，德．莫衣弗（deMoivre）氏與拉（Laplace）氏在高斯（Gauss）氏之前先證明中央極限定理：Sn經過標準化之結果，其分布弱收斂於標準常態分布（在某種條件下）。

 

所謂標準化，係將一變數X改成（X-ExpcX）÷SdX。

 

而所謂標準常態分布，係指具有密度（見方程式3）者，古典機率理論，建立於獨立性之假定，而討論Sn之分布，其解析處理，則以富利葉（Fourier）分析為最有力，列維（Lévy）氏及痕琴（Khinchin）氏集其大成，列氏並獨創平賭過程（Martingale）理論，並且對維納（Wiener）過程有卓越之貢獻。

 

近代機率論著眼於動態之研究，所謂隨機過程（StochasticProcess）即為隨時刻t而變動之隨機變數X(t)（t可限為整數，則得隨機序列）。

 

最具成果者乃在於平穩隨機過程及馬氏過程，後者以維納過程為最著名。

 

機率論之用途甚廣，大約有兩個方面：一則是「統計科學之基礎」不論統計推論（推估、檢定）最佳駐止法、統計決策論等。

 

均根據機率論；

 

另一則是近代科學的發展，定命（Deterministic）的模型常不足以解釋現象，必須引入隨機的模型，以物理學而言，統計力學固然如此，量子力學也一樣；

 

在工程科學中如隨機振動，以及隨機雜訊（RandomNoise）之於通訊技術中的濾過問題等，都需機率論之處理。

 

（楊維哲）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9934