【中華百科全書●科學●機率分布】

楊籍富

【中華百科全書●科學●機率分布】

 

機率分布(ProbabilityDistribution)，實際上就是機率測度的別稱；

 

但是在機率論中，更加常用前者這個稱呼。

 

假設E是個不空集合，ε是由E的某些子集合構成的一個集合，而且滿足了如下的封閉性，我們就說ε是E上的一個可測構造(MeasurableStructure)：(i)如果Aε，那麼(E-A)ε，(ii)如果有一列(An)都是ε的元素，那麼它們的聯集∪An，也屬於ε。

 

可測構造又叫測相(Measurability)，或者σ?，從而，E配合上ε，就叫做一個可測空間(MeasurableSpace)。

 

如果μ是一個映射：ε→?＋＝〔0；∞〕，而且，對於ε中任意一列互斥(不相交)的元素An，都有μ(∪An)＝Σμ（An），那麼μ叫做可測空間(E,ε)上的一個測度。

 

特別是在μ(E)=l的情形，就是它是個機率測度，即機率分布；

 

從而，(E,ε,μ)這個「三合一」的東西，就叫做一個機率空間。

 

如果(Ω,σ)和(E,ε)都是可測空間，Φ：Ω→E是個映射，而且，對於Bε,Φ-1(B)(也就是{ωΩ：Φ(ω)B})必屬於σ，我們就說Φ是從Ω到E的可測映射，對於(σ,ε)而言。

 

特別在(Ω,σ,P)是一個機率空間的情形，可測映射就叫做一個隨機變數(RandomVariable)，並且值域空間(E,ε)就叫做這個變數Φ的「狀態空間」(StateSpace)，於是，對於每一個Bε，就可以算出P(Φ-1(B))，這一來，B→P(Φ-1(B))就是一個機率分布，於(E,ε)之上，我們說它是這個隨機變數Φ(對於機率測度P)的分布，可以記成Φ＊P(或即P。Φ-1)如果E是一個位相空間，由它的一切開集合(即其位相)所生的測相叫做波瑞爾(Borel)環或者波瑞爾測相。

 

特別在E是一個波蘭(即完備可列分賦距)空間時，依照波瑞爾測相得到一個可測空間，叫做「標準的」(Standard)。

 

每個標準可測空間上的任一個機率測度μ都是某個隨機變數Φ：(Ω,σ,P)→(E,ε)的分布，其中，(Ω,σ,P)是標準Lebesgue空間，換句話說，Ω是單位區間[0；1]，σ是波瑞爾測相，而P是平常所說的長度(這是Skorokhod表現定理)。

 

在機率論中，常見的狀態空間都是歐氏空間；

 

尤其是一維的空間R，這時候，若μ是R上機率測度，那麼，對於tR，令F(t)=μ([-∞；t])，得到一個函數F：R→[0；1]，它是遞增(不降)，右半連續，而且F(-∞)=0,F( ∞)=1，反過來說，這種函數F也定出唯一的機率測度μ來，記成μ=dF，而F叫做μ的分布函數(DistributionFunction)。

 

若μ({b})＞0，b是μ的一個原子，若是令{b：b是μ的原子}為B，而μ(B)=1，則μ是離散的，或者純原子性的；

 

若B為空集，則μ是連續的；

 

若f：R→[0；∞]=R＋有∫f＝1，而且F(t)≡∫t-∞f，則F(或μ=dF)絕對連續，具密度f。

 

(楊維哲）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9933