【中華百科全書●科學●留數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●留數】

 

設a為一複數，並設複變數函數f（z）在去心圓域D={z｜0<｜z－a｜＜R}中為單值且為正則。

 

則可將f（z）展成勞侖（Laurent）級數：(方程式1)在這個展式中，（z－a）-1的係數c-1稱為函數f（z）在點a的留數（Residue），記作R（a；f）。

 

依據Cauchy積分公式則有(方程式2)式中0＜r＜R，積分路線依正向繞圓周一圈。

 

若f（z）在z＝a正則，則R（a；f）=0。

 

若f（z）在a有一階極點，則(方程式3)在無限遠點的留數R（∞；f）定義為-a-1，此處a-1為f（z）在∞的勞侖展式(方程式4)中z-1的係數。

 

此時我們有(方程式5)由以上兩個積分公式即得留數定理（ResidueTheorem,Cauchy在一八二五年導出）：設C為複數平面上一可求長的Jordan曲線。

 

設a1,…,am，為C內有限個點，並設D為一區域，包含C及其內部。

 

若函數f（z）在D－{a1,…,am}中正則，則有(方程式6)更進一步，若f（z）除具有有限多值極點外，在全複數平面（包含無限遠點）上正則，則所有留數的和等於零。

 

留數的記號可用於若干重要的計算，例如用於求定積分之值。

 

事實上，Cauchy研究複變函數理論的原因之一就是認為由此可得到計算定積分的統一方法。

 

例如設φ（z）為一有理函數，在實軸上無極點，在無限遠點有一個至少二階的零位，則有(方程式7),(方程式8)以上二式都是關於上半平面中所有極點求和。

 

第二式亦對於在無限遠點有一階零位的有理函數φ（z）成立。

 

由留數定理可得到下列幅角原理：設f（z）為一單值函數，在一區域D中半純且不恆等於0，並設φ（z）為一在D中正則函數。

 

作一可求長Jordan曲線C，使得C之內部含在D中，且f（z）在C上無零位或極點。

 

令α1…αn及β1…βp分別為f（z）在C內的零位及極點（各依階數重複列出）。

 

我們則有(方程式9)若φ（z）=1,則有(方程式10)（繆龍驥）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9827