【中華百科全書●科學●特徵函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●特徵函數】

 

在數學上，特徵函數有如下幾種不同的意義：一、方陣的特徵函數設A為一方陣，並設I為與A同階的單位方陣，則函數x→det(xI－A)稱為A的特徵函數，而方程式det（xI－A=0）稱為A的特徵方程式。

 

例如，方陣(方程式1)的特徵函數為(方程式2)，其特徵方程式為x3-3x 1=0。

 

Hamilton-Cayley定理告訴我們：任何方陣必滿足其特徵方程式，例如上述的方陣M滿足M2-3M I=0。

 

特徵函數為研究方陣結構的一個有力的工具。

 

二、機率分布的特徵函數設P為定義於可測空間（Rn,Bn）的一個機率分布（或稱機率測度）。

 

其中Bn表Rn中一切Borel集所組成的σ-代數，則P的Fourier變換式(方程式3)稱為P的特徵函數。

 

令X表一n維隨機變量，則其機率分布的Fourier變換式，亦稱為X的特徵函數。

 

在研究機率分布與特徵函數之間的關係時，下述的兩個性質扮演著基本腳色：（一）n維機率分布與其特徵函數構成一對一的對應。

 

（二）設aj,bjR,aj＜bj（j=1,2,…,n），則機率分布P與其特徵函數ψ滿足下式：(方程式4)，其中(方程式5)上式稱為特徵函數的反演公式。

 

n維機率分布的特徵函數ψ有如下諸性質：1.ψ為正定函數，即對Rn中任意點z(1),…,z(p)與任意複數a1，…,ap，恆有(方程式6)，2.ψ(0)=1，3.當z(k)→0時，ψ(z(k))→ψ(0)。

 

反之，Bochner定理告訴我們：任何定義於Rn的連續正定函數ψ，使得ψ(0)=1，必為某一n維機率分布的特徵函數。

 

三、集合的特徵函數設U為一宇集合，並設A為U的一個子集合，則函數(方程式7)稱為A的特徵函數。

 

（何清人）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9826