【中華百科全書●科學●羣】

楊籍富

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（Group），是代數結構（AlgebraicStructure）中最常見的一種。

 

代數結構比集合更複雜，任何一個代數結構預先假定（一個）集合之存在，並且這集合之元素間有某種關係或運算，這些元素在這些運算下閉合。

 

一、代數結構之一般概念一個集合E元素，若在（元素間的）運算Oj(jÎJ)之下閉合，並且這些元素有某些關係Ri(iÎI)，則稱E與這些Ri,Oj形成一個代數結構，記作S=〈E,｛Ri：iÎI｝,｛Oj：jÎJ｝〉或S=〈E,Ri,Oj〉iÎI,jÎJ。

 

在一般情形之下，我們常明顯地指出集合E之元素所能滿足的運算，例如S=〈E,‧〉,S=〈E, 〉等，而不明顯地列出E之元素間之關係，Ri等。

 

E,Ri,Oj都是代數結構之基本要素。

 

一個代數結構S=〈E,Ri,Oj〉iÎI,jÎJ之理論，即指製訂S公設（Axioms）與定義，並由此導出有關S的定理。

 

給予兩個代數結構S=〈E,Ri,Oj〉iÎI,jÎJ,S’=〈E’,Ri’,Oj’〉iÎI,jÎJ，設Ri與Ri’都是μ(i)元關係(μ(i)為一正整數，iÎI)，Oj與Oj’為λ(j)元運算(λ(j)為正整數或O，jÎJ)，即RiÍEμ(i),Ri’ÍE’μ(i),Oj,Oj’各為映射Oj：Eλ(j)→E,Oj’：E’λ(j)→E’。

 

稱具有下列性質(一)、(二)的映射h：E→E’（或h：S→S’）是由E映入E’的同態（HomomorphismfromEintoE’）：(一)對任何x1,x2,…,xμ(i)ÎE,Ri(x1,x2,…,xμ(i))==>Ri’(h(x1),…,h(xμ(i)))(iÎI)(二)對任何x1,x2,…,xλ(j)ÎE,h(Oj(x1,x2,…,xλ(j))=Oj’(h(x1),h(x2),,…,h(xλ(j)))最常見的情形是μ(i)£2,λ(j)£2，,此時Ri(x1,x2)記作x1Rix2,Ri’(h(x1),h(x2))記作h(x1)Ri’h(x2)。

 

若上述同態h：E→E’為1-1映射，並且E’=｛h(x)：xÎE｝,則稱h為「由E映成E’的同構」（IsomorphismfromEontoE’），這時稱代數結構S與S’是同構的（Isomorphic）。

 

二、之定義與基本概念具有雙元運算＊的代數結構G=〈E,＊〉是一個（Group），當且只當，下列恒成立：G1對任何x,yÎE,x＊yÎEG2對任何x,y,zÎE,(x＊y)＊z=x＊(y＊z)G3有eÎE使得：對所有xÎE,x＊e=e＊x=xG4對任何xÎE，有唯一的x’ÎE，使得x＊x’=x’＊x=eG1至G4稱為之公設。

 

滿足G3之e稱為G之單位元素（UnitElement），滿足G4之元素x’稱為x逆元素（InverseElement），記作x-1。

 

之同態與同構，可依前述代數結構之同態與同構來定義，並稱之為同態與同構（GroupHomomorphism與GroupIsomorphism）。

 

若將G之運算＊記作 ，則G之單位元素記作0（稱之為零元素），x-1記做-x，這時稱G=〈E, 〉為一加性（AdditiveGroup）。

 

若將G=〈E,＊〉之單位記作1，x之逆元素記作〈方程式１〉或x-1，則稱G為乘性（MultiplicativeGroup）。

 

若將G=〈E,＊〉之運算滿足下列性質：G5對所有x,yE,x＊y=y＊x稱G為一交換（CommutativeGroup），或阿貝爾（AbelianGroup）。

 

由有限多個元素所成的，稱為有限（FiniteGroup），否則稱為無限（InfiniteGroup）。

 

之秩（Order）即此之元素之數目。

 

G=〈E,＊〉之非空子集H是G之子（Subgroup），若H在G之運算下對一個（即H為G之一子，當且只當：對任何x,yÎH,x-1＊yÎH）。

 

若｛Hi：iÎI｝為G之子族，則交集〈方程式２〉也成為G之一子。

 

之第二公設G2告訴我們，x＊y＊z（或簡記作xyz）表示x＊(y＊z)（或x（yz））。

 

對G之任何有限多個元素x1,x2,…,xn,x1x2…xn表示x1(x2…xn)(在此我們省略了運算符號＊)，xn表示x‧x，n個x之乘積（n為正整數或0），x-n表示(xn)-1。

 

設xÎG，稱x之秩（Order）為n，若xn=e（G之單位元素），若無此正整數n，則稱x之秩為無限。

 

群G之元素a之所有冪ak(K³1)形成G之一子，稱為G之循環子（CyclicSubgroup），記作。

 

若G=，稱G為一循環（CyclicGroup）。

 

若S為G之一子集，稱交集Ç｛Hi：iÎI,SÍHi,Hi為G之子，｝為「S所產生的子」，記作。

 

若S為非空集，則之元素具有形式a1m1a2m2…akmk,（aiÎS，k為正整數，mi為正負整數或0）。

 

若<S>=G之生成集（SetofGenerator）。

 

若G有一個有限的生成集，則稱G為有限生成（FinitelyGeneratedGroup）。

 

若S=<a>，S就是a所產生的循環。

 

若S為G之子集，令x-1Sx=Sx=｛x-1sx：sÎS｝，稱S與Sx共軛（Conjugate）。

 

若H為G之子，而x-1Hx也成為G之子，且x-1Hx=H，稱H為G之正規子（NormalSubgroup）。

 

稱集合｛xÎG：x-1Sx=S｝為S的Normalizer，｛xÎG：yÎS,xy=yx｝為S的Centralizer。

 

G之Centralizer稱為G之中心（Center）。

 

若aÎG，稱集合｛xÎG：x-1ax=a｝為G之一共軛類（ConjugacyClass）。

 

G可分解為兩兩不相交的共軛類，而這些共軛類之聯集為G。

 

若H為G之子，xÎG，集Hx=｛hx：hÎH｝，xH=｛xh：hÎH｝，各稱為之RightCoset與LeftCoset。

 

G之正規子H必滿足Hx=xH。

 

若H為G之正規子，令G/H=｛Gx：xÎH｝，可驗證G/H為一，稱此為「以H為模的G商」（QuotientGroupofModuloH）。

 

若G除了G與｛e｝外，沒有其他正規子，則稱G為一單純（SimpleGroup）。

 

上面引介的概念是論（GroupTheory）中基本而初步的概念，論是代數學中已充分發展的一部分，可應用到物理學（量子力學、結晶體理論）與數學部門中。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=7895