【中華百科全書●科學●隨機過程】

楊籍富

【中華百科全書●科學●隨機過程】

 

隨機過程(StocbasticorRandomProcess)，即一族隨機變數(RandomVariables)，因此族隨機變數(Xt：tII)之足碼或參數t通常係代表時間，故(Xt(ω)：tII)乃樣本ω之樣本路徑(SamplePath)t→Xt(ω)，從而有過程之名，足碼集通常為一連續區間，尤其為R或R =[0；

 

∞]；

 

若I為一離散區間，尤其Z(整數系)或正整數系N，則改稱之為隨機序列(RandomSequence)，若I改為N維歐氏空間(之開子集)，N＞l，則通常稱之為隨機場(RandomField)，蓋場者「空間之函數」也。

 

以今日之分析學知識言，最有系統知識者，乃限於常態過程、馬爾可夫過程與(二級矩)平穩隨機過程。

 

一、常態隨機過程，此乃謂一切Xt之線性組合均為常態，即高斯(Gauss)，或拉普拉斯型(Laplace，或叫正規型)者。

 

此時，過程X之機率行為，乃由X之二級矩行為確定，換言之，由平均值函數EX(t)=μ(t)及協方差函數CovX(t,s)=EX(t)X(s)－μ(t)μ(s)而決定。

 

事實上，函數(t,s)→CovX(t,s)=φ(t,s)之特性，在於對稱性φ(t,s)=φ(s,t)以及正定性aα(t)α(s)φ(t,s)30(α任意)。

 

特別地，若I={t}=R或Z時，常態過程之平穩性乃在於：μ(t)=常數(與t無關)，且φ(t,s)只與(t－s)有關。

 

(1)二、所謂平穩過程(StationaryProcess)者，乃指時軸I=R或Z，而(x(t))之機率行為在時間之推移下不變者。

 

若X具二級矩，即具有變異數(Variance)，此表示上述之(1)式成立者；

 

故凡滿足上述之(1)式者，稱為痕琴(Khinchin)氏(廣義)之平穩過程。

 

此時φ之特徵為正定性aα(t)α(s)φ(t－s)30及對稱性(偶性)φ(t)=φ(－t)。

 

必須強調者，於常態過程，此二義恰好重合；

 

凡廣義平穩者必為(狹義)平穩也。

 

於(二級矩)平穩過程痕琴氏之定理，可以表協變異函數φ(t,s)=EX(t)X(s)－μ(t)μ(s)=φ(t－s)為∫exp(itυ)e(dυ)，e即所謂能譜(PowerSpectrum)，於常態平穩過程，e(與常數μ(t))已完全決定了過程。

 

於是問題之焦點乃在於以此能譜而解決所有實用之問題。

 

實用上，吾人常須做線性濾過(Filtering)，或外推(Extrapolation)或預測(Prediction)，凡此均為世界大戰期間之重要成果，俄人柯莫果洛夫(A.N.Kolmogorov)氏與美人維納(N.Wiener)氏居功甚偉，於多維之推廣，則華人江澤培氏亦有貢獻。

 

於狹義平穩過程，則問題在於此機率空間上的流(Flow)(或瀑落[Cascade]，若時軸為Z)之長期行為。

 

此乃遍歷性理論之一支。

 

隨機積分，最先提出者乃維納氏，對其過程W(t)之積分∫f(t)dW(t)，因過程W之樣本路徑甚不平滑(永遠不可導微)，不能以斯氏(Stieltjes)積分解釋之，維納氏則以希氏空間論加以解釋。

 

唯被積分函數f則為定命的，並非隨機過程，日人伊藤清(K.Ito)乃使f為隨機函數，雖則f「不可有先見」(Nonanticipating)，並以伊藤定理使此種微積計算成為隨機理論中之犀利工具。

 

此種積分可改W為一般之擬平賭過程(Quasi-martingale)，或取值於更一般之葛羅斯(Gross)空間上。

 

(國人郭輝雄氏甚有貢獻)。

 

(楊維哲)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=6096