【正定性】

豐碩

【正定性】

 

positivedifiniteness

 

【辭書名稱】力學名詞辭典

 

一個n實變數x1,x2,…xn的二次形式(quadraticform)可以用對稱方陣A寫為Q=xTAx,xT=(x1x2…xn)；

 

若對任意x≠0而言，均有Q>0，則二次形式Q與對稱矩陣A均稱為具有正定性。

 

類此，一個n複變數x1,x2,…xn的赫密特形式(Hermitianform)：恆可以赫米特矩陣H(HT=H)寫為S=xTHx；

 

若對任意x≠0而言，均有S>0，則赫米特形式與H均稱為具有正定性。

 

註：當有x≠0而能使Q≧0（或S=O），則二次形式Q（或赫米特形式S）稱為具有半正定性(positivesemi-definitenees)。

 

正定性的一個重要應用在於能夠經由變數轉換，使二次形式（或Hermitian形式）寫為新變數x'i的平方和；

 

例如：上述方陣A（或H）具有正定性的充要條件是各特徵值均為正值。

 

但判定其正定性，可以逕由特徵函數完成之：對稱方陣A（或赫米特方陣H）具有正定性，若且惟若β1,β2…βn均為正值。

 

上述充要條件亦可改寫為：逐階前例對角子方陣的行列式均大於0。

 

今以三階方陣：A=[aij]為例，其為正定性的充要條件為： 

轉自:http://edic.nict.gov.tw/cgi-bin/tudic/gsweb.cgi?o=ddictionary