【中華百科全書●科學●阿貝爾群】

楊籍富

【中華百科全書●科學●阿貝爾群】

 

給予非空集G，若在G上定義（引進）雙元運算。

 

使得G之任何元素的x、y，恆有另一個元素z，使x．y=z，則稱x．y為x與y之積。

 

x．y採簡記作x．y。

 

我們稱有序組（G,．）或G是一個群（Group）。

 

若G滿足下列條件：（1）對G之所有元素x、ｙ、z，（ｘｙ）z=x（yz）（2）G有元素ｅ使得對G之所有元素ｘ，ｘe＝eｘ＝ｘ（3）對G之任何元素的，G恆有元素y使得xy=yx=e滿足（3）之元素Y叫做元素x之逆（Inverse），記作x-1；

 

滿足（2）之元素e叫做G之單位元素（IdentityElement）。

 

群（G,．）或G是一個阿貝爾群（AbelianGroup）或交換群（CommutativeGroup），若對G之任何兩個元素x、y，xy=xy。

 

這是為紀念挪威數學家阿貝爾（N.H.Abel）而命名。

 

在習用上，當G是一個阿貝爾群時，我們常將運算記號．記作 ，ab記作a b，稱此為a與b之和，此時之單位元素記作0，也叫做零元素（ZeroElement）。

 

每一個阿貝爾群G中，有限秩之元素x（即有正整數n使nx=0的元素x）之全體形成G之一子群T（T本身也是一個阿貝爾群）。

 

令G/T指集合{xT：x?

 

G}，則G/T除了單位元素o外，無其他有限秩之元素。

 

T叫做G的極大扭子群（MaximalTorsionSubgroup）。

 

若G=T，稱G為一週期群（PeriodicGruop）或扭群（TorsinGroup）。

 

若T={0}，則稱T為無扭群（TorsionfreeGroup）。

 

若T≠G，T≠{0}，稱G為混合群（MixedGroup）。

 

若一扭群G之每一元素之秩為一固定質數p之次冪（即對G之任何元素x有正整數k或o使pkx=o），稱G為阿貝爾p群或PrimaryAbelianGroup。

 

對這些群之研究構成抽象代數中「群論」之一部分。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=2617