【中華百科全書●科學●希耳伯特空間】

楊籍富

【中華百科全書●科學●希耳伯特空間】

 

一向量（線性）空間H稱為希耳伯特（簡稱希氏）空間（HilbertSpace）。

 

即在H中可定義內積，且對於內積所導出的範數為度量（即距離），則H在此度量下為完備。

 

詳言之，定義有內積之向量空間，稱為內積空間，完備的內積空間就稱為希氏空間。

 

線性空間H的內積（InnerProduct）就是由積空間H×H映射到複數空間G的一種函數，記為（．,．），且滿足下列之條件：對任意向量x,y,z？

 

H及複數λ？

 

C，有下列條件成立：I1.(x,x)？

 

0,若(x,x)=0,則x=0I2.(x y,z)=(x,z) (y,z)I3.(λx,y)=λ(x,y)I4.(方程式1)。

 

由內積條件I1，我們可定義(方程式2)，這是一種函數∥．∥：H→R＋，即由H到正實數R＋的一種函數。

 

這種函數很易證明能滿足：N1.(方程式3)N2.(方程式4)N3.(方程式5)N3的證明由Schwarz不等式(方程式6)及內積的定義可導出來。

 

滿足N1～N3條件的函數∥‧∥稱為線性空間H上的範數（Norm）。

 

由此範數，我們很容易在空間H上，可定義兩點x,y之間的距離：(方程式7)。

 

希氏空間就是內積空間H對於距離d為一完備空間。

 

換句話說，在內積空間H中之任何Cauchy點列｛xn｝收斂到H中之一點X，也就是當(方程式8)時，在H中存在一點X，使(方程式9)。

 

這樣我們對希氏空間的定義該算完全了。

 

希氏空間有許多好性質。

 

它的起源是在西元一九OO年，有一位數學家希耳伯特，為建立積分方程式興富立葉（Fourier）級數之理論，從歐幾里得空間之概念推廣到（函）數列空間？

 

及函數空間L2(R)。

 

表示包含所有數列（實數或複數）(方程式10)能滿足(方程式11)者；

 

顯然當x=｛xn｝,y=｛yn｝在？

 

中時，內積可定義為(方程式12)其範數為(方程式13)。

 

又L2(R)表示所有函數f滿足(方程式14)者。

 

顯然f,g？

 

L2(R)時，內積及範數分別可如下定之，即：(方程式15)。

 

及L2(R)都是屬具體的希氏空間。

 

一賦範空間，以範數∥x∥能使之形成一希氏空間，即在此可定義內積（ｘ，ｙ）使(方程式16)，其充分必要條件就是對任意向量x,y能滿足等式(方程式17)。

 

在希氏空間H中之兩元素x,y互為直交的意思是（x,y）=0，此時記作x？y。

 

在H中互為直交的元素形成一集合？

 

稱為直交集（或直交系）（OrthogonalSet〔Sytem〕），如果在直交集中之任意元素的範數為一時，稱此直交集為單範正交集（Orthonor-malSet）。

 

任何直交集都可以正規化（即單範化），在一希氏空間中之最大的單範正交集，稱為完全的單範正交集（CompleteOrthonormal）。

 

在一希氏空間中之完全單範正交集的基數（即計數）稱為H的維度（Dimension）。

 

若=｛xi｝為H中給定的單範正交集，則每一個元素x？

 

H內積（ｘ，ｘi）稱為X的富氏（Fourier）係數，這種富氏係數不為0者，至多為可數個i。

 

對於任意x？

 

H，則其富氏係數的平方和滿足(方程式18)，稱為Bessel不等式。

 

如果=｛xi｝為完全單範正交集，則對任意x？

 

H，稱此等式為Par-seval的等式。

 

在希氏空間中之任意元素x，都可展成其富氏級數，即(方程式19)。

 

定義在希氏空間H到複數體C的線性變換，稱為線性泛函。

 

若H上的所有連續線性泛函的全體以H＊表示，則每一個f？

 

H＊，必對應H中之一元素y使f(x)=(x,y)(？x？H)，這個結果稱為Riesz的定理，且由f？

 

y之對應是一種等距離的同構映射，因此H＊＝Ｈ。

 

在希氏空間中之閉線性子空間M？

 

H，當可找到x？

 

H，使(x,y)=0(？y？H)，這種X的全體自成一子集合，以Ｍ？

 

表示，則H=M⊕M？

 

（賴漢卿）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10194