【拓樸學】

紫羅蘭

【拓樸學】

 

最早期所發展的拓樸學，大概可以分成兩種形態：一種是在西元一八九○年代由潘加略（H. Poincare）所創始的組合拓樸學；另一種是在一九○○年代由郝斯洛夫（F. Hausdorff）等人所發展的點集拓樸學。

而首先將這兩種形態的拓樸學做統合工作的是布勞爾（L. E. J. Brouwer）。

拓樸學雖然歸屬於幾何，但是它對數學的其他分支所產生的影響卻非常大。拓樸的概念，幾乎介入了數學的所有領域。

       
所謂拓樸學的概念，說穿了其實非常簡單。

在隨便一個集合S裏，令2s代表S的所有子集所構成的集合。

任取2s裏的子集合T滿足下列四條件：

一、S? Τ；

二、空集合φ? T；

三、隨便幾個落在T裏的S的子集合，其聯集也必定落在T裏；

四、隨便有限個落在T裏的S的子集合，其交集也必定落在T裏，則T稱為S上的一個拓樸結構。

S上具備了這個拓樸結構就形成一個拓樸空間（S, T）。

所有落在T裏的S的子集合，稱為這個拓樸空間裏的開子集。

設x?S，而x? U? T，則稱U為x這點的開鄰域。

同一個集合S上可以給出各種不同的拓樸結構：例如取T =﹛φ,S﹜，或取T d=2S，則兩者顯然都是S上的拓樸結構。

（S, T 0）使S成為一個無聊拓樸空間，其中開子集只有兩個。

（S, T d）使S成為一個離散拓樸空間，其中任意子集合皆為開子集。

介於這兩個最粗與最細的拓樸結構之間，通常還存在許多不同的拓樸結構。

       
假設X、Y為兩個拓樸空間，f：X→Y為映射，如果對於Y中的任意開子集V，必定〈見圖一〉 ，也為X中之開子集，則f稱為連續映射。

假設f為一對一的映成映射。

而f本身，以及其逆映射f-1皆為連續映射，則稱f為同胚映射。

這時X與Y就拓樸結構而言，完全沒有分別，而說X與Y是互相同胚的拓樸空間。

拓樸學中主要所研究的，就是同胚的拓樸空間所共具的性質，或即能夠在同胚映射之下保持不變的性質，這種性質稱為拓樸不變量，或拓樸空間的內稟性質。

例如有關多面體著名的Euler公式V-E+F=2就是。

這使得拓樸學中所研究的，與通常幾何學中所研究的大為不同。

在幾何學中，常只考慮歐氏運動群中的映射，而研究在這運動群之下的不變量。

因此，像距離這種量就被保持不變，但是在同胚映射之下，距離可能改變而非為拓樸不變量。

       
太任意的拓樸空間，不太容易獲取好的性質。

因此，常常會適當引入一些額外的條件而考慮郝斯洛夫空間、林德洛夫（Lindelof）空間，或緊緻空間、完備空間、正則空間等等。

例如對於緊緻拓樸空間，我們就能講很多的定理是一般拓樸空間上無法講的。

另一方面，可能對某些特別重要的集合，我們可以使用某種特殊的方法，引入一種很方便、很有用的拓樸結構，而可考慮像函數空間中的斐特尼（H. Whitney） 拓樸，歐氏空間上的歐氏拓樸、Galois群上的Krull拓樸等等。

       
對於拓樸空間上的函數，有一件比較可惜的是不容易加以計算。

因此，如果在拓樸空間中，引入一個可微分結構而得出可微流型，我們就能輕易地把微積分的工具，引到拓樸空間的研究。

像微分幾何、微分拓僕便都以可微流型，及其上之可微映射，做為考慮的主要對象。

這些都可算是以拓樸學為基礎而發展的學問，而使得拓樸學成為近代數學中最基本的預備知識之一。

 

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia_media/main-s.asp?id=8569