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【中華百科全書●科學●ξ函數】

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發表於 2012-12-27 21:38:46 | 只看該作者 回帖獎勵 |正序瀏覽 |閱讀模式

中華百科全書●科學●ξ函數

 

自從西元十九世紀以來,很多稱為ξ­-函數(ZetaFunction)的特殊函數,便被不斷地定義及研究。

 

關於ξ-函數之問題,主要有四:一、創造新的ξ-­函數。

 

二、研究ξ-­函數之性質。

 

一般而言,這些性質包括:(一)它們在複數平面上為有理函數,(二)它們可展成狄立屈力特(Dirichlet)級數。

 

(三)它們可展成歐依勒(Euler)積式,(四)它們滿足一些函數方程式,而且求ξ­-函數之極、留數及零位也是重要的研究範圍。

 

三、在數論上的應用。

 

四、不同ξ-­函數間之關係。

 

茲黎曼(Riemann)之ξ­-函數以說明之:若s>1,則(方程式1)(收斂級數),ξ­-函數定義為ξ­(s)=(方程式2)(狄立屈力特級數)歐依勒早已發現(方程式3)(歐依勒積式)其中P為所有之質數,一八五九年時,黎曼首先考慮s為複數時之ξ-函數,即所謂之黎曼ξ-函數,並發現於Res>l時,ξ(s)為一正則函數且沒有零位,更證明ξ(s)在複數平面上有正則的連續延拓;

 

是一有理函數;

 

s=l為唯一之極;

 

滿足函數方程式ξ­(s)=ξ­(1-s),其中ξ­(s)=π-s/2G(s/2)ξ(s)­;

 

且ξ(s)在s=l之留數為1。

 

(楊國勝)

 

引用:http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10414

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