【中華百科全書●科學●漸近線】

楊籍富

【中華百科全書●科學●漸近線】

 

考慮雙曲線xy=l，當y→0時x→±∞，而且這時斜率趨近於零，因此y=0這條x軸稱為一條漸近線。

 

同理x=0這條y軸也是一條漸近線。

 

再考慮曲線y=ex，則y’=ex，因此當x→-∞時，y→0，而且y'→0，所以x軸是條漸近線。

 

但是x→∞時，y→∞，y'→∞，如果有漸近線的話，必須是一條垂直線。

 

但是通過x軸上任何固定點x0的垂直線，都會跟y=ex相交，所以不可能是其漸近線，因此就這方向而言，我們找不到漸近線。

 

同法也能顯示對於拋物線y2=x小來講，我們也找不到漸近線。

 

但是雙曲線y2-x2=1，儘管x→∞時，y也趨近於無窮大，但是仍有漸近線為y=±x。

 

有漸近線的曲線還很多，例如y=tanx，便以(見方程式圖1)為漸近線。

 

y=log(x-1)，便以x=1為漸近線等。

 

因此，漸近線是在幫助我們了解當一條曲線的變數趨近於無窮大時，這條曲線的行為。

 

面對這問題，我們另外還可以考慮一些相近的觀念，例如極限點或極限圈等。

 

在平面中的一點z，若其極坐標為(ρ，θ)；

 

則使用複數寫法z=ρ(cosθ isinθ)。

 

現在考慮一條曲線z(t)=e-t(cost isint)，則當t→∞時，z(t)環繞原點而且愈來愈接近原點，我們就說原點是這曲線的極限點。

 

再如考慮一條曲線滿足方程式：(見方程式圖2)可見這條曲線(見方程式圖3)以固定速率繞原點旋轉。

 

但是當一點落在單位圓S之內，其ρ0，可見其ρ值隨著t而遞增。

 

反之，如果一點起初落在S之外，由於ρ>1，所以ρ'<0，因此其ρ值隨著t而遞減。

 

可見若起點落在S中原點以外之任何點，則這曲線環繞原點往外旋而愈來愈趨近於S。

 

反之，若起點落在S外，則這曲線環繞原點往內旋而愈來愈趨近於S，這時S稱為這種曲線的極限圈。

 

（蕭欣忠）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9167