【中華百科全書●科學●三體問題】

楊籍富

【中華百科全書●科學●三體問題】

 

在古典力學中，如兩體間交互作用力為連心力，或在更普遍之情形下，如兩體間之作用力滿足牛頓第三定律（即作用力與反作用力，大小相等而方向相反），且所受外力各與其質量成正比，則此兩體問題可化簡成為兩個一體問題，因而得到普遍解。

 

其一為質量中心之運動，即兩質點之質量之和猶如集中於其質量中心，而其所受之外力，為各質點所受外力之和。

 

如m１及m２表兩質點之質量，F１及F２各表其所受之外力，A表質量中心之加速度，則根據牛頓第二定律可得：（見圖一）另一為兩質點間相互作用力（或稱內力）所引起之相對運動。

 

如以兩質點中之任何一質點為原點，則其相對運動與一質量為（見圖二）（稱為簡縮質量，因其較兩質點之質量m１或m２均小）之質點，對於一固定原點之運動相同，即（見圖三）上式中之a表相對加速度，F１２表兩質點間之相互作用力。

 

三體問題在古典力學、量子力學及天文學中，均為一極著名而尚未真正徹底解決之問題。

 

吾人至今尚無法以與處理兩體問題相似之方法，三體問題化簡為三個一體問題，亦未發現任何其他可行之法。

 

誠然，以現代理論物理學之進步與電算機之快速，典型之三體問題如太空船在地球與月球引力交互影響下之運動，甚而行星繞日之多體問題，均能與以相當精確之描述，惟此僅係特解或數字解（SpecialorNumericalSolutions），並非解析之普遍解（GeneralAnalyticSolutions）。

 

此種特解及數字解祇能適用於某種特殊之起始條件（InitialConditions），或僅在某一特定之時間內，始有效。

 

三體問題之普遍解，雖迄今尚未發現，但在較簡單之特殊情形下，可以解析方法，求得令人相當滿意之結果，此即所謂特殊三體問題（RestrictedThree-bodyProblem）。

 

假定質量為m１及m２之兩質點，在其相互萬有引力作用下共同環繞其質量中心作圓運動。

 

另有一質量為m之質點，在m１與m２之萬有引力場內運動。

 

吾人假定此第三質點之質量m遠小於m１或m２，因此其引力場甚微弱，故不致影響或干擾m１及m２之圓運動。

 

吾人更假定此第三質點m之運動，僅限於m１及m２所在之平面內。

 

換言之，即三體皆在同一平面內運動，而此平面為m１及m２之圓運動所決定。

 

如此吾人乃得將此特殊三體問題，化簡為一體問題－亦即m在m１及m２共同之引力場內之運動。

 

如m為太空船或火箭，m１及m２各表地球與月球，則此即一典型之應用實例。

 

為解決此問題，吾人可以m１及m２之質量中心為原點，而採取隨m１及m２作圓運動之轉動座標系。

 

此座標系之角速度，即m１及m２環繞其質量中心之角速度。

 

根據前述之兩體問題之普遍解，此角速度之大小為m１及m２之相對運動所決定。

 

質點m在此旋轉座標系內所受之力計有：一、m１及m２之引力，二、因旋轉而引起之離心力，三、Coriolis氏力。

 

上述之離心力與Coriolis氏力，皆因座標系之旋轉而引起者，乃假力。

 

質點m所受之力既已確定，則其運動可由牛頓第二定律求得。

 

由此所得之運動方程式，可以積分一次而求得能量積分；

 

但除此之外，別無其他運動之積分常數可得。

 

是以即此簡單之特殊三體問題，亦無確解，而仍需依賴近似法或數字解，始克應用於實際問題。

 

三體問題最簡易之特解為三體在同一直線上之運動。

 

此外尚有著名之拉葛蘭奇氏正三角形解。

 

此即當三體之位置恰好構成一正三角形之頂點，且其彼此之相互作用力為萬有引力。

 

在此情形下，三體之運動，為環繞其質量中心之穩定運動。

 

至於量子力學中之三體問題，則更為繁複，當在意料之中。

 

至今尚未發現真正名符其實之普遍解，茲不贅述。

 

（鄒志剛）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8990