【中華百科全書●科學●固定點定理】

楊籍富

【中華百科全書●科學●固定點定理】

 

在數學中有關函數(映射)之某種性質的問題常涉及如下問題：在何種情況下，連續映射f：X→X有一點x使f(x)=x？

 

若f：X→X是將點xεX變成f(x)εX的映射，稱合於條件f(x*)=x*的點x*為f的固定點或定點(FixedPoint)。

 

若f：X→Y是將點xεX變成集合f(x)εy(f(x)為一集合)的映射，合於條件x*εf(x*)的點稱為f的固定點。

 

有關固定點存在之敘述，統稱為「固定點定理」(FixedPointTheorem)。

 

底下Rn指實數空間，即集合｛(x1,x2,…,xn)：xi均為實數｝，其原點為，=(0,0,0,…,0)。

 

若為Rn的n 1點，λi為n 1個實數(0in)，稱(0in)為線性獨立(LinearlyIndependent)，當且只當：若〈見圖一〉則所有λi為0。

 

若?

 

與λi如前，集合〈見圖二〉叫做Rn的n維單體或簡稱為單體(Simplex)。

 

若上述λi滿足條件〈見圖三〉，且所有λi>0，則此單體記作〈見圖四〉。

 

若為一單體，空單體記作S-1(叫做一個邊界單體)；

 

若i00,Sn之點都是單體S及閉單體之「內點」。

 

差集〈見圖九〉叫做S之邊界(Boundary)，記作Bn-1從位相幾何的觀點來看，閉單體?

 

是一個「有界閉集」，所以?

 

是Rn的緊緻子集。

 

對「將點變成點」的連續映射，我們有下列重要的固定點定理：一、布勞瓦固定點定理(Brouwer'sFixedPointTheorem)：(一)若〈見圖十〉是將一個閉單體S映入其本身的連續映射，則f有一固定點。

 

(二)若X為Rn的緊緻的、非空的凸子集(Compact,Non-emptyConvexSubset)，並且f：X→X是連續的，則f有一個固定點。

 

比上述一、之(二)更一般化的固定點定理就是：二、蕭達固定點定理(Schauder'sFixedPointTheorem)：若X為一巴拿赫空間(BanachSpace)的有界、緻緊的凸子集，並且f：X→X是連續映射，則f有一固定點。

 

在此巴拿赫空間是一種特殊的抽象空間，f之連續性與此空間之位相結構有關。

 

對於「將點變成集合的」連續映射，我們有下列著名的角谷固定點定理(Kakutani'sFixedPointTheorem)三、角谷固定點定理：若為n維閉單體，為的所有閉凸子集所成的集合，若映射〈見圖十一〉滿足下列性質：(*)對S之任何點?

 

，若〈見圖十二〉，則〈見圖十三〉則F有一固定點x*，即有〈見圖十四〉使〈見圖十五〉。

 

上述三個固定點定理，除了在純數學中可用來證明某些存在定理外，布勞瓦固定點定理及角谷固定點定理，在經濟學及博戲理論(GameTheory)中，均有重大的應用。

 

(洪成完)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8573