【中華百科全書●科學●線性方程】

楊籍富

【中華百科全書●科學●線性方程】

 

給定向量空間V、W與一線性映射L：V→W，給定(方程式圖)，能否求得(方程式圖)，使(方程式圖)？

 

稱(方程式圖)為一般之線性方程(LinearEquation)。

 

解此線性方程，意謂「如何求得(方程式圖)之一值(方程式圖)，使(方程式圖)」。

 

針對不同的空間V、W之內容與特色，我們有不同的(方程式圖)與不同的方程式(方程式圖)。

 

例如，線性常微分方程系(SystemofLinearOrdinaryDifferentialEquations)就是其中之一特別情形。

 

在數學與物理以外的經驗科學(例如數理經濟學及經濟學)中，最常見、最被習見的線性方程，即為n元聯立一次方程式：(方程式圖)在此(方程式圖)，如果使用矩陣記號，則(﹡)可表示為一線性方程：(方程式圖)在此A=﹝a

 

有時稱(﹡﹡)與(﹡)均為線性系(LinearSystem)或線性方程系(SystemofLinearEquations)。

 

此處要預先假定「矩陣與線性映射」之知識來討論(﹡)或(﹡﹡)之解。

 

因此，我們依次引介下列論題：一、非奇異方陣；

 

二、矩陣之秩(Rank)；

 

三、矩陣之初等列運算；

 

四、(﹡)之解。

 

一、非奇異方陣定義：給定n階方陣A=〔a

 

B記作A-1，並稱之為A之逆(Inverse)。

 

由此可導出下列結果：若n階方陣A有逆方陣A-1，則A-1是唯一的；

 

若A與B均為n階非奇異方陣，則AB也為非奇異方陣，並且(AB)-1=B-1A-1。

 

在此，我們引介一些有關行列式與方陣之概念。

 

定義：給定n階方陣A=〔a

 

令Mij為去掉A之第i列向量及第j列向量後所得到的(n-1)階方陣。

 

令(方程式圖)。

 

在此｜M

 

｜A

 

令(方程式圖)(這是由｜A

 

我們可導出下列兩個定理：定理：若A為n階方陣，則(方程式圖)定理：若A為非奇異方陣，則(方程式圖)二、矩陣之秩(Rank)要解線性方程(方程式圖)(A為m×n矩陣)，我們就要先求或先知道A之秩。

 

其定義如下：定義：給定m×n矩陣A=〔aij〕,1￡i￡m,1￡j￡n，令r'(A)=A的列向量A

 

r''(A)=A的行向量A

 

例如：(方程式圖)，則r'(A)=r''(A)=2這一結果提示下列重要定理。

 

定理：對任何m×n矩陣A=〔a

 

定義：若A為m×n矩陣，令A之秩r(A)=r'(A)。

 

定理：對任何n階方陣A，下列條件都是等價的：(一)A為非奇異方陣；

 

(二)A-1存在；

 

(三)detA≠0(A的行列式不為零)；

 

(四)r(A)=n(A之秩為n)。

 

三、矩陣之初等列運算(基本列運算，ElementaryOperations)如何求得一m×n矩陣A之秩？

 

有哪些運算保持矩陣之秩？

 

我們可引用下列所引介的運算來討論這兩個問題。

 

定義：給定任何m×n矩陣AHi,kA指將A之第i列、第k列調換。

 

Hi(α)A指將A之第i列Ai乘以純量(實數)α(新矩陣之第i列為αAi)。

 

Hi,k(α)A指將A之第k列Ak乘以純量α加入第i列Ai(新矩陣之第i列為αAk Ai)。

 

這三種運算均稱為「初等的列運算」或「基本的列運算」，簡稱為「列運算」。

 

定義：對(任何)m階單位方陣(方程式圖)行任何一個列運算後，所得到的方陣叫做「基本的列方陣」(ElementaryRowMatrix)，簡稱為「基本方陣」。

 

我們不難驗證：每一個基本方陣為一個非奇異方陣。

 

定理：給定m×n方陣A，依次(連續)施用列運算O1,O2,…,Or於A得到一個矩陣B，即OrOr-1……O2O1A=B，若使用列運算O1於m階單位方陣I得到基本方陣H1，則HrHr-1…H2H1A=B定義：A～BU：有很多個列運算O1,O2,…,Or，使OrOr-1……O2O1A=B。

 

在實際計算時，可使用下列圖示法：(方程式圖)例：(方程式圖)至此，我們可得到下列重要定理。

 

定理：若A與B均為m×n矩陣，而且(方程式圖)，則A與B有相同的秩(r(A)=r(B))。

 

定義：m×n矩陣E是A的「列梯形」(RowEchelonMatrix)U：(一)(方程式圖)；

 

(二)若r(A)=r，則E的前r列向量都是零向量；

 

(三)E中每一個非零的量向量之第一個非零元素為1，此非零元素出現於前列第一個非零的右邊的行中。

 

例(繼續前例)：(方程式圖)定義：m×n矩陣C是A的「列標準形」(Row-reducedCanonicalForm)U：(一)C為A的列梯形；

 

(二)在C之每一個非零的列向量中，第一個非零元素剛好是其所屬行的唯一的非零元素。

 

例(繼續前例)：(方程式圖)注意：若A為n階非奇異方陣，則(方程式圖)(I為n階單位方陣)。

 

四、實係數線性方程(方程式圖)之解(方程式圖)有了前述諸準備工作後，我們可以討論實係數線性方程(方程式圖)之「解之存在」與「解之數」。

 

定義：若(方程式圖)，對任何(方程式圖)，線性方程(方程式圖)與(方程式圖)是對等的(Equivalent)U(方程式圖)。

 

利用基本的列運算，我們可得到(方程式圖)，在此E與C各為A的列梯形或列標準形。

 

因此，前定義可改為：定義：線性方程(方程式圖)與(方程式圖)是對等的U這兩個方程有相同的解。

 

定義：線性方程(方程式圖)為非齊性的(Non-homogeneous)U(方程式圖)定理：給定一個非齊性方程(方程式圖)，則(方程式圖)例：聯立方程式(方程式圖)無解，因3=r(A)≠r(〔A,b〕)=2實際上，(方程式圖)最後的矩陣之最後一列表示0x1 ox2 0x3=-11,0=-11，此為矛盾。

 

定理(Crammer規則)給定非齊性方程(方程式圖)，若r(A)=m=n，則此方程有唯一的解(方程式圖)，或者用行列式表示：(方程式圖)在此，Ak為方陣A之第k行向量，detX為X之行列式。

 

定理：給定非齊性方程(方程式圖)，若果r(A)

 

因此，若r(A)

 

例：解(方程式圖)使用列運算H3,2(-3),H2,1(-1),H1,3(-2)，得到：(方程式圖)由最後的矩陣，知道所給聯立方程式之對等方程為：(方程式圖)即x1 3x3=7,x2-x3=3,x4=0,令x3=a(a為任何值)，得到(方程式圖)，即x1=7-3a,x2=3 a,x3=a,x4=0代表原聯立方程式(*)之無限多解。

 

定義：線形方程(方程式圖)為一齊性方程。

 

(顯然(方程式圖)為此方程之一解，稱為平凡解〔TrivialSolution〕)。

 

定理：給定齊性方程(方程式圖)(一)若r(A)=m=n，則此方程之唯一解為平凡解(方程式圖)。

 

(二)(方程式圖)有一非平凡解(方程式圖)。

 

例：聯立方程式(方程式圖)有無限多個非平凡解。

 

因為：(方程式圖)r(A)=2<3；

 

故原聯立方程式有非平凡解。

 

最後的矩陣告訴我們：x1 x3=0,x2-x3=0,令x3=-a(a為任何值)，得到x1=-x2=-x3=a；

 

因x1=a,x2=-a,x3=-a代表原聯立方程式之無限解。

 

(洪成完)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9099