【中華百科全書●科學●黎曼】

楊籍富

【中華百科全書●科學●黎曼】

 

黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，西元一八二六～一八六二年），（見圖1）出生於德國漢諾威（Hanover），是一首相之子。

 

一八四六年赴哥廷根大學（UniversityofGottingen）攻研神學，但不久後改攻數學。

 

在高斯（CarlFriedrichGauss，一七七七～一八五五）指導下，在一八五一年完成有關複變函數論的博士論文，提出有名的「黎壘保角寫像（保角映射）定理」。

 

為取得此大學之授課講師（Privatdozen，可向學生開課，但收學費）的資格，發表了有關三角級數之論文，提出了現代初等微積分中「定積分」（或稱「黎曼積分」）概念，建立了實數值函數之「可積性條件」（或稱「可積性定理」）。

 

一八五一年，就任授課講師之演講「幾何學基礎所依假設」，討論了歐幾里得幾何學（歐式幾何學）之一些預設（Presuppositions）與概念。

 

一八五九年，繼數學家狄里希立（P.G.L.Dirichlet）任數學教授。

 

一八六二年患肺癆，四十歲時去世。

 

雖然一生短暫，但他對數學之貢獻深大，涉及幾何與分析之重要領域。

 

黎曼不只是一個純數學家，他深切注意物理學之進展，並關心數學與物理世界之間的關連。

 

他曾發表了有關熱學、光學、氣體、磁性、流體力學與聲學方面的論文。

 

在其晚年，曾與偉柏（W.Weber）學物理學，並作偏微分方程方面之研究。

 

一、在幾何學方面的原創思想黎曼在他的就任演講中，曾對歐式幾何學之「直線」概念，分別了「直線之無界性」（Boundlessness）與「無限性」（Infinitude）這兩個概念。

 

他認為，不使用「直線之無限性」，而只假定「直線的無界性」，仍然可建立一種幾何學。

 

他所希望的是要確定：我們有關物理空間（PhysicalSpace）之知識中，何者為絕對可信靠者。

 

在一八二九年，俄國的羅巴契夫斯基（NicolaiIvanovitchLobachesky，一七九三～一八五六）、匈牙利的波雅依（Jano'sBolyai，一八○二～一八六○）與高斯，各自發現了與歐式幾何學不同，但沒有矛盾的非歐式幾何學。

 

這一發現，肯定地解決了很久以來歐式幾何之一個老問題－平行假設（過一直線外之任何一點，可引一條而且只有一條直線平行於原直線）在歐式幾何中是否獨立的問題。

 

這一發現也動搖了許多人（包括數學家與哲學家）所堅持的信念－幾何學只有歐式幾何學這一種。

 

黎曼大膽地採取了（數學）分析方法，由一先在的空間（SpaceaPriori）出發，認為研究空間之局部性質後，才能夠對整個空間有所了解，空閒之其他性質只是經驗的（Empirical）。

 

為了達成這個目標，他開始定義空間上相鄰二點（其坐標差很小）之距離ds，其平方和為（方程式圖）（在此每一個gij為x1,x2…,xn之函數，gij=gij），這推廣了歐式空間內之相鄰二點距離（方程式圖）。

 

一八五四年，黎曼引介了現代所謂「黎曼流型」（RiemannianManifold）與其曲率（Curvature）概念。

 

他企圖以這些概念來刻畫（Characterize）或表徵歐式空間，並進而刻畫使幾何圖形在運動（一種保持距離的坐標變換）之下不變形，或不變大小的那種空間。

 

詳細的發展，就要用解析方法與「張量」（Tensor）概念來表達（這是微分幾何學中之一部門）。

 

黎曼所發展出來的幾何學，後來被稱為「黎曼幾何學」（RiemannianGeometry），這也為後來愛因斯坦（AlbertEinstein，一八七九～一九五五）在一九一五年所提出之特殊相對論作了鋪路工作。

 

二、在數學分析方面的創建法國的柯栖（A.L.Cauchy）於一八二一年為現代微積分建立了嚴密的「極限」理論，以代替牛頓至萊布尼茲時代的「無限小」概念。

 

這是「數學分析算術化」開始之一頁，德國的魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrauss）後來更在這算術化的工作上提供了許多創例，發展「收斂」理論。

 

一八七四年，魏爾斯特拉斯提出了「一個處處連續，但處處不可微的函數」之例，黎曼約在這年提出了「一個對所有無理數連續，但對所有有理數不連續的函數」之例。

 

這些結果，似乎與許多人的天真直覺（NaiveIntuition）相衝突，但在數學分析的基礎上，警告了學習數學者必須嚴謹地區分何者為無根的直覺，何者為創發性的洞見，何者為數學證明之嚴密性。

 

做為一個數學家，黎曼自由而成功地使用了幾何的直覺與物理的論證。

 

據數學家克萊恩（FelixKlein，一八四九～一九二五）說，黎曼曾研究過「平面上電流」的問題，而位勢方程（PotentialEquation）是這研究之中心論題，這工作使他獲得複變函數之某些概念，使他在研究複變函數論時採取了幾何觀點或幾何學的途徑。

 

他引介了現在所謂「黎曼曲面」（RiemannSurface）概念來討論多值函數（Multiple-valuedFunction）。

 

例如，他將複變數函數w2=z分成二個分支（Branch），（方程式圖），並對每個分支引進Z值之平面（即所謂「葉」〔Sheet〕來討論。

 

（方程式圖）各由上葉與下藥來表現，這兩葉在點z＝0與z＝∞接合。

 

更複雜的n值函數之黎曼曲面更複雜。

 

n值的函數要用n葉來表現。

 

每一個黎曼曲面可說是z平面的複製（Duplication），並加入一無窮遠點而成。

 

「黎曼曲面」是複變函數之歷史上一個極重要的進展。

 

在複變函數論中（單值的）解析函數（AnalyticFunction或HolomorphicFunction）可有四種「定義法」。

 

若複變函數在一開集D可微，則稱之為Holomorphic（此定義類似初等微積分中之可微函數〔可微的實數值函數〕），則下列四個條件是等價的：1°f在開集D為解析函數（或Holomorphic）；

 

2°u=u(x,y)與v=v(x,y)在每點z＝x iy全可微（TotallyDifferentiable），並滿（Cauchy-Riemann方程式）（方程式圖）；

 

3°f在D之每一點之一鄰域內，可表示為一冪級數（方程式圖）；

 

4°若一可求曲線弧長的約旦曲線（JordanCurve）及其內部均屬於開集D，則（方程式圖）。

 

黎曼提出定義2°，經後人證明與1°、3°、4°等價。

 

1°→4°即著名的柯栖積分定理（Cauchy'sIntegralTheorem）4°→1°即Morera定理。

 

在複變函數論方面，黎曼對阿貝爾積分（AbelianIntegrals）及阿貝爾函數均有相當的貢獻。

 

黎曼在一八五一年的博士論文中提出了一個現在有名的「黎曼保角映射定理」，簡單而粗疏地說：任何複數平面上具有一個以上的邊界點的單連通區域D，可藉一解析函數w=f(z)（將D）映入w平面的單位圓盤之內部。

 

這定理成為複變函數論之幾何理論之一基石。

 

設x為一正實數，π(x)表示：有π(x)個質數小於x，例如π(8)=4，π(11)=5。

 

當x漸漸增大，小於x的質數將趨於稀疏，但π(x)這個函數應如何定義？

 

這是解析數論（AnalyticNumberTheory）中之一著名問題。

 

歐依勒（Euler）、勒根達（Legendre）、高斯等人曾欲證明有關的定理，後人綜合寫出一猜想：(＊)（方程式圖）（這一猜想曾被稱為「質數定理」，實際上後來曾被證明為真確）。

 

俄國的契貝謝夫（Tchebycheff）曾證明：有常數A1,A2，使（方程式圖），但未能成功地證明上述猜想。

 

黎曼於一八五九年左右提出Zeta函數ζ(z)，（方程式圖）（z為複變數），他欲藉Zeta函數證明（＊）。

 

他也驗證了歐依勒早先的結果（方程式圖）（s為實數，(s)為s的Gamma函數）。

 

黎曼指出，要證明（＊），必須有人對Zeta函數之複根（ξ(z)=0之複根）作進一步的研究。

 

若z=x iy，對x￡1，ξ(z)不收斂；

 

但ζ在上半平面｛z：z之實數部分<1｝可藉解析延拓來擴展其定義。

 

於是，黎曼提出一個假設，稱為黎曼假設（RiemannHypothesis）：ξ(z)=0在區域｛z：￡z之實數部分￡1｝之複根均在直線（方程式圖）上。

 

黎曼假設到現在為止，仍未能得到證明。

 

但很奇異的，法國數學家蒲桑（delaVallee'Poussin，一八六六～一九六二）在繼J.Hadmard之研究後，證明了z=x iy,x=1時，ξ(z)≠0，而證得了前面的猜想「質數定理」（＊）。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9089