【數學解題歷程的教學】

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【數學解題歷程的教學】

 

【辭書名稱】教育大辭書

 

數學解題歷程的教學主要適用於數學文字題（俗稱應用題）。

 

主要代表人物為波力耳(G.Polya)、舒恩費(AlanH.Schoenfeld)及梅伊爾(RichardE.Mayer)。

 

波力耳(1945)將解題歷程分為四個階段：1.了解問題：未知數是什麼？

 

已知數是什麼？

 

條件是什麼？

 

2.擬定計畫：找出未知數和已知數之間的關係，如果找不著，那就只得考慮一些輔助問題，然後想辦法擬定一個解題的計畫。

 

3.執行計畫：依據擬定的計畫，正確地執行及運算每一步驟。

 

4.回顧解答：校核所得的解答是否正確。

 

但實際解題時，並非階段分明地從第一步進行至第四步，即可完成解題。

 

有時進行至第二步時需再折返第二步，同理進行第三步時，也有可能需折返至第二步，甚至第一步。

 

因此，實際解題時，並非一定是依序直線進行的，有時需隨時折返，有時則需繞圈子進行，以達解決問題的最終目的。

 

舒恩費(1985)除了承續波力耳的解題步驟以及重視各解題步驟的認知歷程之外，他又在其解題歷程模式中提出「後設認知」(metacognition)以及「信念系統」(beliefsystem)的概念。

 

其所揭櫫的數學解題歷程包括：1.閱讀(read)：受試者開始閱讀問題。

 

2.分析(analysis)：受試者將問題簡化或重述，以便更了解問題。

 

3.探索(exploration)：受試者尋找已知條件、未知條件以及問題目標彼此間的關聯性。

 

4.計畫(planning)：受試者擬定解題計畫，並檢視計畫是否與問題解決有關，以及評估計畫的適當性。

 

5.執行(implement)：執行計畫並檢視是否依計畫執行。

 

6.驗證(verify)：受試者檢視解題結果是否合理與正確。

 

梅伊爾(1992)從認知心理學的觀點，對數學解題歷程及其所涉及的知識做了相當具有結構性的分析，其模式如下圖表所示。

 

梅氏(1992)以一文字題每邊長30公分的正方形瓷磚，每塊售價0.72元，若要以此瓷磚鋪滿一間長7.2公尺、寬5.4公尺的長方形房間，需要花多少錢為例，分析解題者所需具備的知識應包含：(1)語言知識：例如認字的能力；

 

(2)語意知識：例如1公尺等於100公分、正方形四邊相等；

 

(3)基模知識：例如長方形的面積等於長乘以寬；

 

(4)策略知識：例如先設定子目標，算出房間的面積以及需要多少塊瓷磚；

 

(5)程序性知識：例如能做乘、除法的運算。

 

他更進一步地分析這五種知識可分屬於解題的兩大步驟，及「表徵問題」與「解決問題」。

 

其中「表徵問題」又可分成二個主要成分：「問題的轉譯」與「問題的整合」；

 

而「解決問題」亦可分成「計畫與監控」以及「執行」兩個成分，而「問題的轉譯」需要具備語言的以及語意的知；

 

「問題的整合」需要基模的知識；

 

「計畫與監控」需要策略的知識；

 

「執行」則需程序性知識。

 

解題者在解題歷程中，若欠缺五種必要知識中的任何一種，很可能就無法成功地解題。

 

茲略舉部分研究結果如下：1.語言及語意的知識研究者發現若解題者對文字題中的句子無法理解或有錯誤的理解時，就會造成解題的困難，尤其是句子是以關係句呈現時特別明顯，例如：「樹上有五隻鳥和三隻蟲，那麼鳥比蟲多幾隻？」

 

研究者更進一步發現，若句子中的「關鍵字」與所需運算的「符號」矛盾時，則難度更為提升，例如：「甲牌的汽油一加侖賣1.13元，它比乙牌的汽油每加侖少0.05元，若要買五加侖乙牌的汽油需要多少錢？」

 

此題需要用到「加法」。

 

2.基模的知識以整數四則運算為例，馬歇爾(Marshall,1987)即將字題分為下列五種類型：(1)改變型(Change)小華有20元，買色紙用去10元，還剩幾元？

 

(2)組合型(Combine)小華有20元，小明有10元，兩人一共有幾元？

 

(3)比較型(Compare)小華有20元，小明有10元，小華比小明多多少元？

 

(4)重述型(Restate)小華的錢是小明的兩倍，小華有20元，小明有幾元？

 

(5)單位型(Unit)媽媽每天給小華10元零用錢，那麼小華兩天的零用錢有多少元？

 

解題者若有分辨題型的能力即具有基模的知識。

 

基模知識是有效表徵問題的核心，若要成為成功的解題者，則發展基模知識是不可少的。

 

不少研究者皆指出：優秀的解題者通常具有較好的題型辨識能力。

 

3.策略的知識舒恩費將一般性的解題策略歸納成五大類：(1)如果問題可以用圖或表來表示的話，僅可能利用畫圖或列表的方式來理解問題；

 

(2)利用歸納法；

 

(3)利用矛盾或歸謬證法；

 

(4)減少變項；

 

(5)建立子目標。

 

解題的策略除了和問題的性質有關之外，他和解題者的能力有關，一般而言，優秀的解題者通常較會選擇有效的解題策略。

 

4.程序性知識指的是計算或運算以及繪圖等技能。

 

目前研究者將計算能力分成不同的精熟程度：例如：以和在20以內的加法為例，席格勒(Siegler,1987)將計算能力區分成下列不同層次：(1)全部計數一個數一個數數。

 

(2)相接計數加數或被加數中，其中一個數記在腦中，另一個數用手指頭數。

 

(3)事實衍生已知5＋5＝10,6＝1＋5，因此6＋5＝10＋1＝11。

 

(4)事實已知5＋6，立即說出11，不必再計算，已經自動化了。

 

李俊仁（民國81年）將乘法的運算分為：(1)直接提取；

 

(2)序列提取；

 

(3)點數；

 

(4)直接提取－點數；

 

(5)序列提取－點數；

 

(6)直接─序列提取六個層次。

 

解題的步驟大約可依解題歷程人成分模式來進行，因此，學者們所發展出來的解題教學步驟也大同小異，茲舉數例說明如下：孟太格和鮑斯(Montague&Bos,1986)的認知策略教學將解題步驟分為以下八個成分：1.唸出問題。

 

2.用自己的話，把問題再說一遍。

 

3.利用圖示或列表的方式來表徵或展示問題。

 

4.綜合1，2，3將問題精確地陳述。

 

5.建立假設。

 

6.預估。

 

7.計算。

 

8.自我檢查。

 

由上述教學步驟，可見他們很重視學生對問題是否真正理解，以及是否有能力將問題正確表徵。

 

何清森(Hutchinson,1993)發展出以自我問答式的解題步驟教學如下：1.問題表徵的自我問答：(1)我讀完並理解問題中的每一個句子嗎？

 

問題中有哪些字的意義不懂，需要請教別人嗎？

 

(2)我對問題有整體性的理解嗎？

 

(3)我能把問題中的目標、未知條件、已知條件、問題類型等式列出來嗎？

 

(4)我以前做過類似的題目嗎？

 

2.問題解答的自我問答：(1)我能把算式列出來嗎？

 

(2)我能正確地展開算式嗎？

 

(3)我計算程序正確嗎？

 

未知數算出來了嗎？

 

答案符合目標的要求嗎？

 

(4)我以前做過的類似題目也是這樣算的嗎？

 

 

轉自:http://edic.nict.gov.tw/cgi-bin/tudic/gsweb.cgi?o=ddictionary