【中華百科全書●科學●微分】

楊籍富

【中華百科全書●科學●微分】

 

微分（Differential，Differentiation），這一詞不論在中文或外文都有混淆之可能。

 

作為動詞，英文是toDifferentiate（對應的名詞是Differentiation），也就是從一函數f得到導函數f'，或者導數f'(a)的運作。

 

另外，作為名詞乃是英文之Differential，然而也有可能指的是導函數或導數本身，事實上導函數與導數本身乃是「微分商」（DifferentialQuotient）。

 

若以記號表示，則運算f→f'或f→f'(a)，或者f'(x)dx，或者f'(a)dx，乃至於f'與f'(a)都可能是這一詞之解釋，因此這一詞非常容易混淆。

 

雖然起源不易確定，但這一詞必非牛頓（Newton）所創，而是歐洲大陸上萊布尼茲（Leibnitz）之流派所發明且使用者。

 

依照牛頓與萊布尼茲的見解，欲求函數f在a處之導數，應使自變數x微增成x Dx，從而因變數y=f(x)亦自a微增為f(a Dx)，記之為f(a) Dy，導數乃此二差分（Difference）Dy與Dx之商的極限，此極限存在時，稱f為可微於a處，並以f'(a)表示此極限，稱之為f在a處之導數，若f於一範圍處處可微（Differentiable），則稱f為可微於此處，而且函數x→f'(x)即為f之導函數，故導數乃導函數之計值，然於英文常以Derivative混指之。

 

所堪注意者：可微函數必連續，而連續函數甚至於可以到處不可微，此等精細之理論則為微積分鼻祖與大師如牛頓、萊氏、歐拉、達朗貝爾等所不知者。

 

依照萊布尼茲氏之見解，微分可以定義為無限小增分（差分），故記之為dx，dy，以相應於有限差分Dx，Dy，萊氏因而發明微分商？

 

之記號，此記號使微分法之連鎖規則（ChainRule）如是簡化，於微積分學之應用貢獻非凡，蓋微分之隱函數、反函數及參變函數規則均可由記號逕行算出，積分法中之變數代換，亦易如反掌。

 

然而此種「無限小增量為微分」的說法於數學嚴格論證方面，殊有困難，引起極大爭議，英哲柏克來氏（Berkeley）直斥之為「已逝量之幽靈」。

 

故無限小之說法，在柯西（Cauchy）之說殆已消失於微積分書籍上，但在本世紀六○年代，由拉賓森（A.Robinson）以超準分析學（Non-standardAnalysis）之名引用數理論理學中模型論（ModelTheory）說法，已可嚴格解說而無矛盾矣！

 

微分d與微導（方程式1）之主要技法規則有三：一、線性（疊合）原理：Dαf=αDf，D(f g)=Df Dg二、乘法之萊（Leibnitz）氏規則：D(fg)=fDg (Df)g三、連鎖規則：（方程式２）箂氏以∫作為d之逆，∫…dx為D，即？

 

之逆，而積分（不定積分，即反導微）之技法乃為一、線性，二、分部積分，三、變數代換，亦為如上三規則之反面而已。

 

於多變數函數時，微分可定義為「增分之線性主要部分」。

 

因為雅可比（Jacobi）型之連鎖規則仍成立，固有微分之「形式不變性」，此即：（方程式３），其中x即使非自變數亦可成立（此款之微分均指一階微分而言，高階微分則無此種不變性）。

 

微分或微導（Derivation）有它種推廣，主要均係著眼於性質二（萊布尼茲性），可以適用於種種之？

 

（Algebra），於可微分平滑流形之平滑函數？

 

中，此種微導乃線性一階偏微導算子或李（Lie）氏微導，可以因而定義一協變向量場：（方程式４）。

 

（楊維哲）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10387