【中華百科全書●科學●數】
一、數(Numbers)的雙重性質依據一種計數(Counting)的程序或步驟，在一固定的順序中，用具有明確、唯一意義的符號來表示這種計數，這種符號，稱為正整數(PositiveIntegers)，記作：1,2,3,4,5,6,…n,n 1,…再附加一個符號0(零)，則構成自然數(NaturalNumbers)。
自然數與正整數均用來表示一堆對象(ACollectionofObjects)在量方面之大小，也用來指示我們在抽象的運思過程(計數即其中之一)依某順序之第一、二、三…等位置(Position)。
簡單地說，自然數與正整數均具有「指示量」(指示量之大小)與「指示順序」(指示先後順序)這兩個直覺意義。
由自然數，可藉代數方法造整數，這些是：-n-1,-n,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,n,n 1,…由此可再造有理數(RationalNumbers)。
任何有理數是具有形式p/q的數(用p與q之比例表示)，其中q≠0，p與q都是整數。
由有理數可造實數。
設N、ω、Z、Q、R各指：所有正整數、自然數、整數、有理數與實數所成的集合，則(方程式圖)，在此XUY表示X之所有元素均為Y之元素，但有Y之元素不是N之元素。
正整數之四則運算與＋、－、×、÷與自然序＜，可推廣於ω、Z、Q、R。
二、自然數之性質在數學之各部門中，平面幾何與數論最富於直覺的意義。
要為數學建立穩固的基礎，自然必須對自然數要有穩當的處理，然後發展出代數、幾何、分析等其他重要部門的數學。
德國數學家載淂金(Dedekind)於西元一九○一年首先對自然數做基礎性的探討，皮阿諾(Peano)則於十九世紀末使用邏輯符號與一邏輯系統來陳示載淂金的結果。
這些結果，現代稱為皮阿諾公設(Peano'sPostulates)。
其公設如下：(P1)0是一個自然數。
(P2)若X是一個自然數，則另有一自然數，記作x'(稱x'為x之直接後繼元)。
(P3)對所有自然數的x，0≠x'。
(P4)若x與y為自然數，且x'=y'，則x=y。
(P5)[數學歸納法原理]設Q為一性質或條件。
若(i)0具有性質Q。
(ii)若任何自然數x具有性質Q，則x'也具有性質0，則對所有自然數x，x具有性質Q。
由這些公設與某些公設化集合論，足以發展出一般數學中常用的概念與方法。
我們常可以使用初級邏輯(初序邏輯[First-orderLogic])之符號表示法，重新把(P1)~(P2)陳示成為一形式系統。
例如：若x,y,z,…指自然數變元，'指直接繼元運算，則(P5)可陳示為：(P5)'、設Q(x)為一句式(Formula)，x為其(唯一的)自由變元，則下列句式為一公設：(方程式圖)(＊)表示數學歸納法之原理。
Q(0)稱為歸納基礎(InductionBasis)，(方程式圖)這個部分稱為歸納步驟(InductionStep)，而其中Q(x)這部分稱歸納假設(InductionHypothesis)；
最後的部分(方程式圖)稱為歸納結論(ConsequenceofInduction)。
三、基數與序數(CardinalandOrdinalNumbers)在討論「代數結構」或其他數學結構時，我們有時只引用「指示量之大小」這一性質的數，有時只引用「指示先後順序」這一性質的數。
前者稱為「基數」，後者稱為「序數」。
這兩種數都是與集合有關，這兩種只在自然數剛好一致，即每個自然數是基數，又是序數。
給定集合x、y，令(方程式圖)表示(方程式圖)(即f是一個將x1-1映成y的映射，或f是一個雙射)。
令(方程式圖)表示：有映射f使(方程式圖)。
令(方程式圖)表示：y有子集(方程式圖)；
(方程式圖)表示：(方程式圖)，但非(方程式圖)，這些符號(方程式圖)的直覺意義是什麼？
(方程式圖)表示：x與y有一樣多的元素(元素之數目相同)或「x與y對等」；
(方程式圖)表示「在量方面，x比y小或相等」或「x不比y多」；
(方程式圖)表示：「在量方面，x比y小」或「y比x大」。
簡單地說，在一般數學中，集合x與y之基數(方程式圖)，(方程式圖)相等，當且只當(方程式圖)。
在公設化集合論中，基數是序數之一種，也是一個集合。
假定公設化集合論之正則公設(AxiomofRegularity,AxiomofFoundation)，我們可以定義「序數」為一種特別的集合。
首先，稱集合x是一個傳遞集(TransitiveSet)，若x之任何元素是x之一個子集[對任何y，(方程式圖)]；
由正則公設，0是任何傳遞集之元素。
其次，集合x是一個序數(OrdinalNumber,Ordinal)，當且只當：x是一個傳遞集，並且對x之任何兩個元素u、v，u=v或uIv或vIu(三者中只有一個成立)。
例如φ(空集合)，｛φ,｛φ｝｝都是序數。
對任何集合x，令(方程式圖)，於是由空集合可定義自然數如下：0=φ,1=0',2=1',3=2',…對任何序數、β，令α＜β表示αIβ；
令α£β表示α＜β或α=β。
假定公設化集合論之無窮公設(AxiomofInfinity)，我們得保證自然數之存在。
而自然數在集合論中是一種特別的集合，ω=｛0,1,2,3,…,n,n 1…｝ω之元素，若非為0，一定是一個「自然數」。
由此，我們可導出前述之皮阿諾公設。
令ω 1=ω',ω 2=(ω 1)',…於是，我們可以得到自然數以外的序數α，ω＜α；
故有序數之序列：0,1,2,3,…,n,…,ω,ω 1,ω 2,…我們可證得：(方程式圖)現在假定公設化集合論中之選擇公設(AxiomofChoice)，我們可以定義集合x之基數(方程式圖)。
(方程式圖)當且只當α是合於條件α"x的最小序數。
由此知道ω是一個基數。
我們稱x是一個有限集(FiniteSet)，若x＜ω(或有n<ω使x"n)；
x是一個無限可列集(DenumerableSet)，若x"ω；
x是一個可數集(CountableSet)，若x£ω。
R就是一個非可數的集合。
在集合論中，我們還可發展出有關基數與序數之各種運算，把「利用自然數之可計數之雙重性」加以推廣。
這些運算形成基數算術興序數算術，而在有關代數結構與集合方面有重大應用。
(洪成完)
引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9088
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