楊籍富 發表於 2012-12-26 22:10:48

【中華百科全書●哲學●數理邏輯】

<P align=center><STRONG><FONT size=5>【<FONT color=red>中華百科全書●哲學●數理邏輯</FONT>】</FONT></STRONG></P>&nbsp;<P><STRONG>數理邏輯(MathematicalLogic),又稱符號邏輯(SymbolicLogic),它是用一套形式化的邏輯語言(例如命題演算系統和述詞演算系統)來處理形式邏輯的學問。</STRONG></P>
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<P><STRONG>此種形式化邏輯語言之採用,旨在避免一般自然語言含混不精確之弊,及其所引起之邏輯上的毛病。</STRONG></P>
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<P><STRONG>而所謂形式邏輯旨在探討命題(Propositions)的結構以及演繹推論,所用的方法是把諸命題的內容拋開,只抽象地考慮它們的邏輯形式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>數理邏輯的系統之建立可分兩大部分,一部分是純粹形式的建構,另一部分是語意的解釋。</STRONG></P>
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<P><STRONG>後者可以不必有,不過為了與日常生活相配合,邏輯家們通常都會賦與各種的語意解釋。</STRONG></P>
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<P><STRONG>形式建構的部分必須包含底下六部分:一、一組原始符號(PrimitiveSymbols)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>二、一組形構規則(FormationRules),規定一串由原始符號所組成的序列(有限個)是否為一句式(Formula)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>三、規定什麼叫做證明(Proof)和定理(Theorems)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>四、規定在什麼情況下,某一句式是另一組句式的歸結(Consequence)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>亦即要規定何謂有效的推論(ValidInference)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>例如,設B是A1,A2…,An這組句式的歸結,則我們說從前提A1,A2…,An到結論B的推論是一有效推論。</STRONG></P>
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<P><STRONG>為了得到上述三和四,我們須借助於底下兩點。</STRONG></P>
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<P><STRONG>五、一組原始句式(primitiveFormulas)或稱之為公設(Axioms)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>這是就公設化邏輯系統而言,如是自然演繹(NaturalDeduction)的系統,即無此項需求。</STRONG></P>
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<P><STRONG>六、一組原始的推論規則(PrimitiveRulesofInference)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>每一條規則都規定在什麼情況下,句式B是句式A1,A2…,An的直接歸結。</STRONG></P>
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<P><STRONG>據此,所謂證明是指一組句式,它的每一個句式或者就是原始句式,或者是根據某一條原始推論規則,從其前面的句式直接得來的歸結。</STRONG></P>
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<P><STRONG>以上是純粹形式建構所需要的,至於語意的解釋,比如說,有些(或所有)句式意指命題,而定理表示真的命題;</STRONG></P>
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<P><STRONG>至於證明和有效的推論也表現了通常意義的證明和有效的推論等等。</STRONG></P>
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<P><STRONG>因此,同一個形式系統可以有不同的語意解釋。</STRONG></P>
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<P><STRONG>以下我們將據此建立命題演算系統,作為邏輯系統的範例。</STRONG></P>
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<P><STRONG>一、它是將語句連詞「或者」、「而且」、「並非」和「若…則…」形式化的系統。</STRONG></P>
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<P><STRONG>形式化後的符號系統,各人的用法均稍有不同,在此只採用一種以便解說。</STRONG></P>
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<P><STRONG>我們約定以「」、「-」、「」為原始符號。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(PQ)意指「P而且Q」,(PQ)意指「P或Q或P與Q兩者」,「-P」意指「並非P」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>其餘定義如下:(P→Q)意指「並非P或Q」(-PQ),(PnQ)意指「若P則Q而且若Q則P」〔P→Q〕〔Q→P〕。</STRONG></P>
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<P><STRONG>二、我們的形構規則有四條:(一)凡P、Q、R等命題變元(PropositionalVariables)所組成的基本命題符號皆是句式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(二)若A為句式,則-A為一句式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(三)若A及B皆為句式,則(AB)亦為一句式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(四)若A及B皆是句式,則(AB)也是句式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>以上之A、B等為後設變元(Meta-Variables),其餘的條件號「→」以及雙條件號「n」所結合成的式子,將視為原來完全的句式的縮寫。</STRONG></P>
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<P><STRONG>三、我們的原始句式(PrimitiveFormulas)共有七個。</STRONG></P>
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<P><STRONG>設A、B和C代表任意三個句式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>則(一)「AA→A」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(二)「A→(B→(AB))」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(三)「A→(AB)」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(四)「(AB)→A」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(五)「(AB)→(BA)」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(六)「(AB)→B」;</STRONG></P>
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<P><STRONG>(七)「(A→B)→〔(CA)→(CB)〕」。</STRONG></P>
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<P><STRONG>我們的原始推論規則為正前律(ModusPonnedoPonens),即:已知A及A→B,我們可導出B。</STRONG></P>
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<P><STRONG>凡能從原始句式,經連續應用原始推演規則而導出來的句式都稱之為定理,換言之:1.凡原始句式皆為定理;</STRONG></P>
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<P><STRONG>2.若A及A→B皆為定理,則B也為定理。</STRONG></P>
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<P><STRONG>吾人稱從前提A1,A2…,An到結論B的推論,為命題演算系統中的一個有效推論,若且唯若當我們把A1,A2…,An加入原始句式之行列時B可變成一個定理。</STRONG></P>
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<P><STRONG>換言之,1.當B為一原始句式或B為A1,A2…,An中的一句式時,從A1,…,An到B的推論為有效推論,2.當從A1,…,An到C→B之推論皆為有效推論時,從A1,…,An到B之推論也為有效推論。</STRONG></P>
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<P><STRONG>最後,為了輔助原始推論規則,通常都增加了一條原始推論規則,稱之為取代規則(RuleofSubstitution),當吾人將任一句式B取代任一句式A中的某一變元的所有出現而得到一新句式C時,取代規則允許我們從A推到C。</STRONG></P>
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<P><STRONG>此時定理的定義維持不變,只是原始推演規則變成兩個;</STRONG></P>
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<P><STRONG>至於有效推論的定義,則要隨著稍作變動。</STRONG></P>
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<P><STRONG>完成上述系統後,我們尚須證明其一致性(Consistency)及完備性(Completeness)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>前者指:若任一句式A為該系統之定理,則A之否定式就不是定理;</STRONG></P>
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<P><STRONG>後者是指:若句式A不是該系統之定理,則把它加到原始句武的行列之中時,我們可依上述兩推論規則來證明該系統會導致矛盾,而變成不一致。</STRONG></P>
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<P><STRONG>至於述詞演算系統,則除了以建構外,尚有許多更細膩更複雜的設計和理論。</STRONG></P>
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<P><STRONG>基本上,它所處理的是像(x)(FxGx),($x)(FxGx)之類的語句。</STRONG></P>
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<P><STRONG>前者意謂:任何x,若x具有性質F,則x就具有性質G。</STRONG></P>
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<P><STRONG>後者謂:有一x存在,使得x具有性質F和性質G。</STRONG></P>
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<P><STRONG>我們可藉此類符號工具,來處理一些更精細的邏輯問題,例如,含等同號的演算、確定描述詞(DefiniteDescriptions)之處理、類的代數(AlgebraofClasses)、關係的代數(AlgebraofRelations)、類型論(TheoryofTypes)集合論、遞歸函數論等等。</STRONG></P>
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<P><STRONG>以上這些數理邏輯的研究最早可追溯至萊布尼茲(Leibnitz)、朗伯特(J.H.Lambert)等人。</STRONG></P>
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<P><STRONG>不過,它的真正開端當是西元十九世紀的邏輯代數(AlgebraofLogic),以後經弗銳格(Frege)、皮阿諾(Peano)、羅素(Russell)、希爾伯特(Hilbert)等人的改進,數理邏輯復取得今日的地位。</STRONG></P>
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<P><STRONG>羅素和懷德海(A.Whitehead)的「數學原理」(PrincipiaMathematica)一書是數理邏輯發展史上的里程碑。</STRONG></P>
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<P><STRONG>(黃慶明)</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG>&nbsp;</P>引用:http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9146
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